gọi 3 đường trung tuyến đó là AD,BE,CF.
Vẽ D',E',F' là hình chiếu của M trên BC,AC,AB.
Ta có : \(\frac{A'M}{A'G}+\frac{B'M}{B'G}+\frac{C'M}{C'G}=\frac{MD'}{GD}+\frac{ME'}{GE}+\frac{MF'}{GF}\)
Đặt \(GD=GE=GF=\frac{h}{3}\)( h là chiều cao của tam giác )
\(\Rightarrow\frac{A'M}{A'G}+\frac{B'M}{B'G}+\frac{C'M}{C'G}=\frac{h}{\frac{h}{3}}=3\)
Cho tam giác ABC đều,G là trọng tâm,cho điểm M bất kì trong tam giác.Mg cắt các cạnh BC,AC,AB tại A',B',C'.Chứng minh
\(\frac{A'M}{A'G}+\frac{B'M}{B'G}+\frac{C'M}{C'G}=3\)
Cho tam giác ABC, G là trọng tâm, M là một điểm nằm trong tam giác \(\left(M\ne G\right)\) . Đường thẳng MG cắt các đường thẳng AB, BC, CA lần lượt tại C', A', B'. Chứng minh rằng: \(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\)
1. Tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác và M bất kì trong tam giác, Đường thẳng qua M,G cắt BC,CA,AB tại A';B';C'. Chứng minh:
\(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\)
Cho tam giác ABC ở miền trong tam giác có điểm M sao cho các đường thẳng AM, BM, CM cắt các cạnh AB, BC, CA tại các điểm C1, A1, B1 thỏa: \(\frac{AM}{A_1M}+\frac{BM}{B_1M}+\frac{CM}{C_1M}=6\). Chứng minh M là trọng tâm tam giác ABC
Cho tam giác ABC cân với góc ABC = 120 độ. Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC
1) CM tam giác ADC vuông rồi suy ra tỉ số DB/DC
2) CM: \(\frac{1}{AD}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{AB}\)
3) Đường thẳng DO lần lượt cắt AB,AC tại E và F. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Chứng minh các đường thẳng AO; MF; NE đồng quy
Cho tam giác ABC cân với góc ABC = 120 độ. Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC
1) CM tam giác ADC vuông rồi suy ra tỉ số DB/DC
2) CM: \(\frac{1}{AD}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{AB}\)
3) Đường thẳng DO lần lượt cắt AB,AC tại E và F. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Chứng minh các đường thẳng AO;MF;NE đồng quy
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Một đường thẳng đi qua G cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở C', B' và cắt tia đối của tia CB ở A'. Cmr:
1/GA' +1/GB'=1/GC'
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là 1 điểm trên cạnh BC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AC. Đường thẳng MN cắt (O) tại các điểm P,Q (P,Q lần lượt thuộc cung AB và cung AC). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại I. Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K.
a) C/m: Tứ giác AIPK nội tiếp và \(\frac{PK}{PD}=\frac{QB}{QA}\)
b) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (khác P). Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC tại E. Cmr khi D di chuyển trên BC thì \(\frac{CD}{CE}\)không đổi.
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC. Từ M hạ H vuông góc BC; K vuông góc AB; I vuông góc AC.
a) C/m: K,H,I thẳng hàng
b) C/m: \(\frac{BC}{MH}=\frac{AB}{MK}+\frac{AC}{MI}\)
c) Gọi H1 là trực tâm tam giác ABC. C/m: Đường thẳng HIK đi qua trung điểm MH1
