Question

Cho tam giác cân AMN có \(\widehat{MAN}\)= 120^o . Vẽ đường cao AH ( H∈ MN). 
 a) Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc MAM.
b) Kẻ HD vuông góc với AM ( D ∈ AM), kẻ HE vuông góc với AN ( E ∈AN). Chứng minh rằng ΔADE cân và DE//MN.
c) Chứng minh rằng Δ HDE đều.
d) Đường vuông góc với MN kẻ từ N cắt MA tại I. Tính độ dài của cạnh AI biết NI = 10cm

Answer 1

Xét tam giác AMN có góc MAN = 120⁰ suy ra tam giác AMN cân tại A

suy ra góc AMN=góc ANM = 30⁰

Xét tam giác AHM và tam giác AHN

có AH chung

góc AHM = góc AHN = 90⁰

AM=AN (vì tam giác AMN cân tại A)

suy ra tam giác AHM = tam giác AHN ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)

suy ra góc MAH=góc HAN (hai góc tương ứng)

suy ra AH là tia phân giác của góc MAN

b) Xét tam giác vuong AHD và tam giác vuông AhE

có AH chung

góc hAD=góc HAE (CMT)

suy ra tam giác AHD =  tam giác  AHE ( cạnh huyền-góc nhọn)  (1)

suy ra AD=AE suy ra tam giác ADE cân tại A

suy ra góc ADE=góc AED=30⁰

suy ra góc ADE = góc AMN = 30⁰

mà góc ADE đồng vị với góc AMN

suy ra DE//MN

c)  tam giác HEN vuông tại E suy ra góc EHN = 60⁰

tam giác HDM vuông tại D suy ra góc DHM = 60⁰

mà góc DHM + góc DHE + góc EHN = 180⁰

suy ra góc DHE = 60⁰   (2) 

Từ (1) suy ra DH = HE suy ra tam giác DHE cân tại H  (3)

Từ (2) và (3) suy ra tam giác DHE đều

d) Xét tam giác MIN vuoog tại N suy ra góc NIM = 60⁰

góc IAN kề bù với góc NAM

suy ra góc NAI = 60⁰

tam giác ANI có góc AIN=góc ANI=góc IAN = 60⁰

suy ra tam giác ANI đều

suy ra AI = NI = 10cm