Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên BC
a, Tam giác ABC có AB=AC (gt) => tam giác ABC cân tại A ( tính chất tam giác cân )
do đó góc B = góc C ( hai góc ở đay )
Ta có : góc ABC = góc ECN ( hai góc đối đỉnh )
Xet tam gic vg BDM va tam gic vg CEN co :
BD=CE ( gt )
góc ABD = góc ECN ( cùng bằng góc ACB )
=> tam giác vg BDM = tam giác vg ECN ( cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy )
Do đó DM = EN ( hai cạnh tương ứng )
b) Ta có: MD vuông góc với BE
BE vuông góc với EN
=>MD//EN => góc DMI = góc INE(so le trong)
Xét tam giác MDI và tam giác IEN ta có:
MD=EN(vì tam giác MBD = tam giác CEN)
góc MDI = góc IEN(=90 độ)
góc DMI = góc INE(cmt)
=>tam giác MDI = tam giác IEN(CGV-GN)
=>IM=IN(ctư)
=>đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN
c)Từ B và C kẻ các đường thẳng lần lượt vuông góc với AB và AC cắt nhau tại K
H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC
Xét tam giác ABK và tam giác ACK có
AK là cạnh chung
AB=AC(cmt)
GocsBAK=góc KAC
suy ra tam giác ABK = tam giác ACK (c-g-c)
suy ra KB=KC nên K thuộc AH đường trung trực của BC
Mặt khác :Từ tam giác DMB=tam giác ENC(câu a)
Ta có : BM=CN
BK=CK(cmt)
góc MBK=góc NCK=90 độ
Nên tam giác BMK = tam giác CNK(c-g-c)
suy ra MK=NK hay đường trung trực của MN luôn đi qua điểm K cố định (đpcm)
mk cx định hỏi câu nek
