+) Ta có: ^ACD = ^ACB + ^BCD; ^AEC = ^ABC + ^BAD
Mà ^ACB = ^ABC (∆ABC cân tại A); ^BCD = ^BAD (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
nên ^ACD = ^AEC (1)
+) Dễ có: ∆AEB ~ ∆CED (g.g) nên \(\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}=\frac{AC}{CD}\)(2)
Từ (1) và (2), ta có: ^ACD = ^AEC và \(\frac{AE}{CE}=\frac{AC}{CD}\)nên ∆AEC ~ ACD (c.g.c)
\(\Rightarrow\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow AC^2=AE.AD\)(đpcm)
vì AB =AC => sđ cung AB = sđ cung AC
=> 1/2 ( sđ CD + sđ AB ) =1/2 ( sđ CD + sđ AC )
=> AEB = 1/2 sđ AD =ABD
CM tam giác ABD ~ tam giác AEB ( g-g) => AC^2 = AD.AE
Vì AB = AC => sđAB = sđAC (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)
Ta có góc ABD là góc nội tiếp chắn cung AD
nên góc ABD = \(\dfrac{sđAD}{2}\)
Vì góc AEB có đỉnh nằm trong đường tròn
nên góc AEB = \(\dfrac{sđAB+sđCD}{2}\) = \(\dfrac{sđAC+CD}{2}=\dfrac{sđAD}{2}\)
Do đó góc ABD = góc AEB
Xét ΔABD và ΔAEB có:
góc BAD chung
góc ABD = góc AEB (cmt)
Vậy: ΔABD đồng dạng với ΔAEB (g.g)
=> \(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\)
=> AB2 = AD.AE
Tìm Trên đường tròn (0) lấy ba điểm A, B và C. Gọi M, N và P theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB, BC và AC. BP cắt AN tai I, NM cắt AB tại E. Gọi D là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng: a) Tam giác BNI cân; b) AE.BN = EB.AN; c) El // BC; AN d) BN AB BD
vì AB =AC
=> sđ cung AB = sđ cung AC
=> 1/2 ( sđ CD + sđ AB ) =1/2 ( sđ CD + sđ AC )
=> AEB = 1/2 sđ AD =ABD
CM tam giác ABD ~ tam giác AEB ( g-g) => AC^2 = AD.AE
Vì AB=AC -> sđAB=sđAC
Ta có: ABD=sđAD/2
AEB= 1/2(sđAB + sđCD) = 1/2(sđAC + sđCD) = sdAD/2
Do đó ABD=AEB
Xét tam giác ABD và AEB có:
BAD: góc chung
ABD=AEB (cmt)
Vậy: tam giác ABD đồng dạng với tam giác AEB(g.g)
-> AB/AD=AE/AB
->AB^2=AE . AD
vì AB =AC
=> sđ cung AB = sđ cung AC
=> 1/2 ( sđ CD + sđ AB ) =1/2 ( sđ CD + sđ AC )
=> AEB = 1/2 sđ AD =ABD
CM tam giác ABD ~ tam giác AEB ( g-g) => AC^2 = AD.AE
vì AB =AC => sđ cung AB = sđ cung AC => 1/2 ( sđ CD + sđ AB ) =1/2 ( sđ CD + sđ AC ) => AEB = 1/2 sđ AD =ABD CM tam giác ABD ~ tam giác AEB ( g-g) => AC^2 = AD.AE
ì AB =AC
=> sđ cung AB = sđ cung AC
=> 1/2 ( sđ CD + sđ AB ) =1/2 ( sđ CD + sđ AC )
=> AEB = 1/2 sđ AD =ABD
CM tam giác ABD ~ tam giác AEB ( g-g) => AC^2 = AD.AE
ta có ACD = ACB+ BCD ; AEC = ABC + BAD
MÀ ACB = ABC (ΔABC cân tại A) ; BCD=BAD( hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) nên ACD = AEC(1)
dễ có ΔAEB ~ ΔCED(g-g) nên AB/CD=AE/CE=AC/CD(2) Từ(1) và (2) ta được
⇒ AC/AD=AE/AC⇒AC2=AE.AD
vì AB =AC ⇒sđAB =sđAC⇒1/2 (sđCD +sđAC)
⇒AEB=1/2sdAD=ABD
XÉT △ABDvà△AEBcó
AEB=ABD(CMT)
△ABD~△AEB⇒AC2=AD.AE
Ta có:△ABC cân tại A=>góc B= góc ACB
Mà góc D= góc B(cùng chắn cung AC)
Suy ra:góc D= góc ACB
Xét △ADC và △ACE có:
góc CAD chung
góc D=góc ACE
Suy ra:△ADC~△ACE(g-g)
=>AC/AE=AD/AC=>AC^2=AD.AE
xét tam giác AEB và tam giác ABD có
góc A chung
góc B = góc C (tam giác ABC cân)
=> tam giác AEB và tam giác ABD đồng dạng
=> AE/AB=AB/AD->\(^{AB^2}\)=AD.AE mà AC=AB(GT)
=> đpcm
+) Ta có: ^ACD = ^ACB + ^BCD; ^AEC = ^ABC + ^BAD
Mà ^ACB = ^ABC (∆ABC cân tại A); ^BCD = ^BAD (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
nên ^ACD = ^AEC (1)
+) Dễ có: ∆AEB ~ ∆CED (g.g) nên (2)
Từ (1) và (2), ta có: ^ACD = ^AEC và nên ∆AEC ~ ACD (c.g.c)
(đpcm)
