Question

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao BE và CF cắt nhau ở H. Gọi D là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng bốn điểm B, F, E, C nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh rằng bốn điểm D, H, E, C nằm trên một đường tròn.

c) Tìm tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, F, D, C.

Answer 1

Answer 2

Answer 3

a)
+Nối trung điểm D với F và E
+Xét tam giác FBC vuông tại F có FD là đường trung tuyến 
\(\Rightarrow FD=BD=DC=\dfrac{1}{2}BC\) (1)
+Tương tự có \(ED=DC=BD=\dfrac{1}{2}BC\) (2)
+Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BD=FD=ED=CD\)
\(\Rightarrow\)Bốn điểm B, F, E, C \(\in\) (D;BD)

b)

+Lấy điểm O là trung điểm của HC
+Xét tam giác HEC vuông tại E có EO là đường trung tuyến
\(\Rightarrow OH=OE=OC=\dfrac{1}{2}HC\)  (3)
+Tam giác ABC cân tại A có AD là đường trung tuyến
\(\Rightarrow\)AD đồng thời là đường cao của tam giác ABC
+Xét tam giác HDC vuông tại D có DO là đường trung tuyến
\(\Rightarrow OD=OH=OC=\dfrac{1}{2}HC\)  (4)
+Từ (3) và (4) \(\Rightarrow OH=OE=OC=OD\)
\(\Rightarrow\)Bốn điểm H, E, C, D \(\in\) (O;OH)
 

c)

 

Answer 4

Answer 5

a) Nối F và E với D. Vì FD và ED là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông BFC và CEB nên: DB = DF = DE = DC. Do đó, bốn điểm B, F, E, C nằm trên đường tròn \left(D;\frac{BC}{2}\ \right)(D;2BC​ ).

b) Tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AD cũng là đường cao, do đó AD đi qua H và \widehat{ADC}={90}^\circADC=90∘. Gọi I là trung điểm của HC thì DI và EI là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC của các tam giác vuông HDC và HEC. Ta có ID = IH = IE = IC nên bốn điểm D, H, E, C nằm trên đường tròn \left(I\ ;\frac{HC}{2}\right)(I ;2HC​).

c) Gọi K là trung điểm của AC. Tương tự câu a) ta có bốn điểm A, F, D, C nằm trên đường tròn \left(K;\frac{AC}{2}\right)(K;2AC​).

Answer 6

a) Nối F và E với D. Vì FD và ED là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông BFC và CEB nên: DB = DF = DE = DC. Do đó, bốn điểm B, F, E, C nằm trên đường tròn $\left(D;\frac{BC}{2}\right)$.

b) Tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AD cũng là đường cao, do đó AD đi qua H và $\widehat{ADC}={90}^{\circ }$. Gọi I là trung điểm của HC thì DI và EI là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC của các tam giác vuông HDC và HEC. Ta có ID = IH = IE = IC nên bốn điểm D, H, E, C nằm trên đường tròn $\left(I;\frac{HC}{2}\right)$.

c) Gọi K là trung điểm của AC. Tương tự câu a) ta có bốn điểm A, F, D, C nằm trên đường tròn $\left(K;\frac{AC}{2}\right)$.

Answer 7

a) Nối F và E với D. Vì FD và ED là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông BFC và CEB nên: DB = DF = DE = DC. Do đó, bốn điểm B, F, E, C nằm trên đường tròn $\left(D;\frac{BC}{2}\right)$.

b) Tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AD cũng là đường cao, do đó AD đi qua H và $\widehat{ADC}={90}^{\circ }$. Gọi I là trung điểm của HC thì DI và EI là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC của các tam giác vuông HDC và HEC. Ta có ID = IH = IE = IC nên bốn điểm D, H, E, C nằm trên đường tròn $\left(I;\frac{HC}{2}\right)$.

c) Gọi K là trung điểm của AC. Tương tự câu a) ta có bốn điểm A, F, D, C nằm trên đường tròn $\left(K;\frac{AC}{2}\right)$.

Answer 8

a, Xét △BFC vuông tại F, BC là cạnh huyền △BEC vuông tại E, BC là cạnh huyền ➩ △BFC nội tiếp đường tròn đường kính BC △BEC nội tiếp đường tròn đường kính BC ➩ B,F,C thuộc đường tròn đường kính BC B,E,C thuộc đường tròn đường kính BC ➩ B,F,C,E cùng nằm trên đường tròn đường kính BC b, Xét △DAB có trung tuyến DF ➩ FD=FA=FB (1) △EAB có trung tuyến EF➩EF=FA=FB (2) Từ (1) và (2) ➩ FA=FB=FD=FE ➩ bốn điểm A,B,D,F cùng nằm trên đường tròn (F;FA) c, Xét△DEA, trung tuyến DE➩ DE=EA=EC(3) △CAF, trung tuyến FE➩ FE=EA=EC(4) Từ (3) và (4) ➩ DE=EA=EC=FE ➩ bốn điểm E,A,C,D nằm trên đường tròn (E;EA)

Answer 9

Answer 10

Answer 11

Answer 12

Answer 13

a) Nối F và E với D. Vì FD và ED là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông BFC và CEB nên: DB = DF = DE = DC. Do đó, bốn điểm B, F, E, C nằm trên đường tròn $\left(D;\frac{BC}{2}\right)$.

b) Tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AD cũng là đường cao, do đó AD đi qua H và $\widehat{ADC}={90}^{\circ }$. Gọi I là trung điểm của HC thì DI và EI là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC của các tam giác vuông HDC và HEC. Ta có ID = IH = IE = IC nên bốn điểm D, H, E, C nằm trên đường tròn $\left(I;\frac{HC}{2}\right)$.

c) Gọi K là trung điểm của AC. Tương tự câu a) ta có bốn điểm A, F, D, C nằm trên đường tròn $\left(K;\frac{AC}{2}\right)$.

Answer 14

Answer 15

Answer 16

Answer 17

Answer 18

Answer 19

Answer 20

a) Nối F và E với D.

Vì FD và ED là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông BFC và CEB nên: DB = DF = DE = DC.

=> bốn điểm B, F, E, C nằm trên đường tròn(D;BC/2);

b) Tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AD cũng là đường cao, do đó AD đi qua H và  góc ACD=90\widehat{ADC}={90}^\circ
 độ.

 Gọi I là trung điểm của HC thì DI và EI là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC của các tam giác vuông HDC và HEC. Ta có ID = IH = IE = IC

=> bốn điểm D, H, E, C nằm trên đường tròn (I;HC/2)

c) Gọi K là trung điểm của AC.Tương tự câu a) ta có bốn điểm A, F, D, C nằm trên đường tròn

do kA=KC=>K là đương kính của đừng tròn A,F,C,D

 

 

 

 

       \widehat{ADC}={90}^\circ

 

 

 

Answer 21

Answer 22

                                                                                                               a) Nối F và E với D. Vì FD và ED là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông BFC và CEB nên: DB = DF = DE = DC. Do đó, bốn điểm B, F, E, C nằm trên đường tròn \left(D;\frac{BC}{2}\ \right)(D;2BC​ ).

b) Tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AD cũng là đường cao, do đó AD đi qua H và \widehat{ADC}={90}^\circADC=90∘. Gọi I là trung điểm của HC thì DI và EI là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC của các tam giác vuông HDC và HEC. Ta có ID = IH = IE = IC nên bốn điểm D, H, E, C nằm trên đường tròn \left(I\ ;\frac{HC}{2}\right)(I ;2HC​).

c) Gọi K là trung điểm của AC. Tương tự câu a) ta có bốn điểm A, F, D, C nằm trên đường tròn \left(K;\frac{AC}{2}\right)(K;2AC​).

                   

Answer 23

a, Nối F và E với D 

Vì FD và ED là các đường trung tuyến của cạnh huyền BC của các tam giác vuông BFC và CEB nên:DB=DF=DE=DC.Do đó , bốn điểm B,F,E,C nằm trên đường tròn (D,\(\dfrac{BC}{2}\) )

b, Tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AD cũng à đường cao do đó AD đi qua H và \(\widehat{ADC}\) =90\(^o\) .Gọi I là trung điểm của HC thì DI vàEI là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC của các tam giác vuông HDCvàHEC .Ta có ID=IH=IE=IC nên bốn điểm D,H,C nằm trên đường tròn (I,\(\dfrac{HC}{2}\) )

c, Gọi K là trung điểm của Ac .                                                                                                 Theo câu a ta có bốn điểm A,F,D,C nằm trên đường tròn (K,\(\dfrac{AC}{2}\) )

Answer 24

a nối F với E với D lại với nhau

V

Answer 25

a) Nối F và E với D
Vì FD và ED là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông BFC và CEB 
=> DB = DF = DE = DC
=>B, F, E, C nằm trên đường tròn \left(D;\frac{BC}{2}\ \right)(D;\(\dfrac{BC}{2}\))

b) Tam giác ABC cân tại A
=>đường trung tuyến AD cũng là đường cao
=>AD đi qua H
=>\(\widehat{ADC}\) = 90⁰
Gọi I là trung điểm của HC thì DI và EI là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC của các tam giác vuông HDC và HEC
Ta có ID = IH = IE = IC
=>D, H, E, C nằm trên đường tròn \left(I\ ;\frac{HC}{2}\right)(I ;\(\dfrac{HC}{2}\)) 

c) Gọi K là trung điểm của AC
=>Tương tự câu a) ta có:  A, F, D, C nằm trên đường tròn \left(K;\frac{AC}{2}\right)(K;\(\dfrac{AC}{2}\) ⁾
 

\widehat{ADC}={90}^\circ
 

Answer 26

a) Nối F và E với D. Vì FD và ED là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông BFC và CEB nên: DB = DF = DE = DC. Do đó, bốn điểm B, F, E, C nằm trên đường tròn (D;BC2 )(D;2BC​ ).

 

b) Tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AD cũng là đường cao, do đó AD đi qua H và ADC^=90∘ADC=90∘. Gọi I là trung điểm của HC thì DI và EI là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC của các tam giác vuông HDC và HEC. Ta có ID = IH = IE = IC nên bốn điểm D, H, E, C nằm trên đường tròn (I ;HC2)(I ;2HC​).

c) Gọi K là trung điểm của AC. Tương tự câu a) ta có bốn điểm A, F, D, C nằm trên đường tròn (K;AC2)(K;2AC​).

   

Answer 27

a) Nối F và E với D. Vì FD và ED là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông BFC và CEB nên: DB = DF = DE = DC. Do đó, bốn điểm B, F, E, C nằm trên đường tròn (D;BC2 )(D;2BC​ ).

 

b) Tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AD cũng là đường cao, do đó AD đi qua H và ADC^=90∘ADC=90∘. Gọi I là trung điểm của HC thì DI và EI là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC của các tam giác vuông HDC và HEC. Ta có ID = IH = IE = IC nên bốn điểm D, H, E, C nằm trên đường tròn (I ;HC2)(I ;2HC​).

c) Gọi K là trung điểm của AC. Tương tự câu a) ta có bốn điểm A, F, D, C nằm trên đường tròn (K;AC2)(K;2AC​).

Answer 28

Answer 29

Answer 30