Question

Cho tam giác ABC,\(\widehat{A}\) bằng 120 độ.Hai đường phân giác BD và CE của tam giác cắt nhau tại O.Trên cạnh BC lấy hai điểm I va K sao cho \(\widehat{IOB}\) =\(\widehat{KOC}\) = 30 độ. Chứng minh rằng :

a) OI vuông góc với OK                                                                                        b) BE+CD < BC

 

Answer 1

a) Xét Tam giác AOB có:

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{C}=180^o-\widehat{A}\)

Xét tam giác BOC có:\(\widehat{B_1}+\widehat{C_1}+\widehat{BOC}=180^o\Rightarrow\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=180^o-\widehat{BOC}\)

Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\frac{1}{2}\widehat{B}\)(BD là phân giác )

\(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\frac{1}{2}\widehat{C}\)

\(\Rightarrow2\widehat{B_1}+2\widehat{C_1}=180^o-\widehat{A}\Rightarrow2\left(\widehat{B_1}+\widehat{C_1}\right)=180^o-\widehat{A}\)\(\Rightarrow2\left(180^o-\widehat{BOC}\right)+\widehat{A}=180^o\Rightarrow\widehat{BOC}=90^o+\frac{\widehat{A}}{2}=90^o+120^o:2=150^o\)

\(\Rightarrow\widehat{IOK}=\widehat{BOC}-\widehat{BOI}-\widehat{KOC}=150^o-30^o-30^o=90^o\)

=> OI vông OK

b)Ta có:

 \(\widehat{EOB}=\widehat{DOC}=180^o-\widehat{BOC}=30^o\)

Xét tam giác EBO và IBO có:

BO chung

\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)( phân giác )

\(\widehat{BOE}=\widehat{BOI}=30^o\)

=> \(\Delta BEO=\Delta BIO\)(g.c.g)

=> BE=BI

Tương tự ta chứng minh đc:  \(\Delta CDO=\Delta CKO\)(g.c.g)=> CD=CK

Mà BI+IK+KC=BC=> BE+IK+CD=BC

=> BE+CD< BC