Question

Cho tam giác ABC,trên trung tuyến AD lấy điểm D cố định( I khác A và D) Đường thẳng d đi qua I cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại M,N .Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tam giác AMN đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

Từ M kẻ \(MH\perp AC\Rightarrow MH=AM.sinA\)

\(S_{AMN}=\dfrac{1}{2}MH.AB=\dfrac{1}{2}AM.AN.sinA\)

Mà góc A cố định \(\Rightarrow S_{min}\) khi \(AM.AN\) đạt min

Qua B, C lần lượt kẻ các đường thẳng song song d, cắt AD tại E và F

\(\Delta BDE=\Delta CDF\left(g.c.g\right)\Rightarrow DE=DF\)

Talet: \(\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AE}{AI}\) ; \(\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AF}{AI}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AE+AF}{AI}=\dfrac{\left(AD-DE\right)+\left(AD+DF\right)}{AI}=\dfrac{2AD}{AI}\)

Do A; I; D cố định \(\Rightarrow\dfrac{2AD}{AI}\) cố định

\(\dfrac{2AD}{AI}=\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}\ge2\sqrt{\dfrac{AB.AC}{AM.AN}}\Rightarrow AM.AN\ge\dfrac{AB.AC.AI^2}{AD^2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}\Rightarrow d||BC\) theo Talet đảo

Answer 2