Xét \(\Delta BFC\perp E\) và \(\Delta CEB\perp E\) có :
BC : cạnh chung
FC = BE (gt)
\(\Rightarrow\Delta BFC=\Delta CEB\left(c.h-c.g.v\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A
Xét \(\Delta AFC\perp F\) và \(\Delta AEB\perp E\) có :
BA = AC (Vì \(\Delta ABC\) cân tại A)
FC = BE (gt)
\(\Rightarrow\Delta AFC=\Delta AEB\left(c.h-c.g.v\right)\)
\(\Rightarrow\) AF = AE
\(\Rightarrow\Delta AFE\) cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)
\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\) EF // BC (đồng vị)
Xét \(\Delta AFO\perp F\) và \(\Delta AEO\perp E\) có :
FA = AE (Vì \(\Delta AFE\) cân tại A)
AO : cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta AFO=\Delta AEO\left(c.h-c.g.v\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{FAO}=\widehat{EAO}\)
Gọi I là giao điểm của AO và BC
Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có :
BA = AC (Vì \(\Delta ABC\) cân tại A)
AI : cạnh chung
\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (cmt) \(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\) (c . g . c) \(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) , BI = IC (1) Mà \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\) \(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{1}{2}\times180^0=90^0\)\(\Rightarrow AI\perp BC\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\) AO là trung trực của BC
