Question

cho tam giác ABC.Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,AC.a)Gọi P,Q là trung điểm MN và BC .CMR a) A,P,Q thẳng hàng

Answer 1

M là trung điểm AB \(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

N là trung điểm AC \(\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

P là trung điểm MN \(\Rightarrow\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=-2\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{AP}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AP}\Rightarrow\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)

Q là trung điểm BC \(\Rightarrow\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{QA}=2\overrightarrow{AQ}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=2\left(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\right)=2\overrightarrow{AP}\)

\(\Rightarrow A;P;Q\) thẳng hàng

Answer 2