a) Xét tam giác ABG và tam giác BGM có chung đường cao hạ từ B xuống đáy AM
Mà \(AG=2GM\) \(\Rightarrow S_{\Delta AGB}=2S_{\Delta BGM}\)
\(\Rightarrow S_{\Delta BGM}=\frac{1}{2}S_{\Delta AGB}=\frac{1}{2}\times20=10\left(cm^2\right)\)
Ta có \(S_{\Delta ABM}=S_{\Delta ABG}+S_{\Delta BGM}=20+10=30\left(cm^2\right)\)
Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta ACM\)có chung đường cao hạ từ A xuống cạnh đáy
Mà BM = MC
\(\Rightarrow S_{\Delta ACM}=S_{\Delta ABM}=30\left(cm^2\right)\)
Xét \(\Delta ACG\)và \(\Delta MCA\)có chung đường cao hạ từ C xuống đáy AM
Mà \(GA=\frac{2}{3}AM\Rightarrow S_{\Delta AGC}=\frac{2}{3}S_{\Delta AMC}=\frac{2}{3}\times30=20\left(cm^2\right)\)
Lại có \(\Delta CGN\)và \(\Delta AGC\)có chung đường cao hạ từ G xuống AC
Mà \(NC=\frac{1}{2}AC\Rightarrow S_{\Delta CNG}=\frac{1}{2}S_{\Delta AGC}=\frac{1}{2}\times20=10\left(cm^2\right)\)
b) Ta có BM = MC
Mà AM = 2GM
\(\Rightarrow\)G là trọng tâm của tam giác ABC
Lại có BG cắt AC tại N
\(\Rightarrow\)BN là đường trung tuyến tam giác ABC
\(\Rightarrow AN=CN\left(1\right)\)
Mặt khác \(BM=MC\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của tam giác CAB
\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AB\)hay \(AB=2MN\)
