Câu hỏi của Nguyễn Đình Thi

Question

Cho tam giác ABC.Các đường cao là các số tự nhiên.Bán kính đường tròn nội tiếp = 1.Tính các cạnh và đường cao của tam giác ABC. Các bạn ạ mình mới đang học lớp 8 và đang học toán 9 để thi tỉnh.Mong các bạn giúp đỡ.

Đinh Thùy Linh · Accepted Answer

Gọi a,b,c là các cạnh của tam giác ABC tương ứng với các cạnh BC;AC;AB. Vì bán kính đường tròn nội tiếp r = 1 nên dễ thấy diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}r\cdot\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)$(1)Gọi $h_a;h_b;h_c$lần lượt là độ dài các đường cao ứng với các cạnh a;b;c. nên:$S_{ABC}=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c$(2)Từ (1) và (2) ta suy ra: $ah_a=bh_b=ch_c=\left(a+b+c\right)$Hay: $\frac{a}{\frac{1}{h_a}}=\frac{b}{\frac{1}{h_b}}=\frac{c}{\frac{1}{h_c}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}}=a+b+c$Nên: $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=1$Giải phương trình này với các nghiệm $h_a;h_b;h_c$nguyên dương với giả thiết $h_a\ge h_b\ge h_c$$h_c=1$=> ko có $h_a;h_b$thỏa mãn.$h_c=2$thì $h_b$ko thể =2 vì ko có $h_a$thỏa mãn; nếu $h_b=3$thì $h_a=6$; nếu $h_b\ge4$thì $h_a\le4$trái giả thiết nên loại.$h_c=3$thì $h_b=3;h_a=3$Nếu $h_c>3$thì $\frac{1}{h_c}< \frac{1}{3}$số lớn nhất nhỏ hơn trung bình cộng 3 số, vô lý=> Loại.Đối với nghiệm $h_a;h_b;h_c$=(6;3;2) có 1 đường cao bằng 2 tức là gấp 2 lần bán kính đường tròn nội tiếp - vô lý nên bị loại (Bạn có thể vẽ hình để chứng minh).Nên chỉ có 1 nghiệm $h_a;h_b;h_c$=(3;3;3) thỏa mãn và khi đó các cạnh $a=b=c=2\sqrt{3}$Câu trả lời: Gọi a,b,c là các cạnh của tam giác ABC tương ứng với các cạnh BC;AC;AB. Vì bán kính đường tròn nội tiếp r = 1 nên dễ thấy diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}r\cdot\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)$(1)Gọi $h_a;h_b;h_c$lần lượt là độ dài các đường cao ứng với các cạnh a;b;c. nên:$S_{ABC}=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c$(2)Từ (1) và (2) ta suy ra: $ah_a=bh_b=ch_c=\left(a+b+c\right)$Hay: $\frac{a}{\frac{1}{h_a}}=\frac{b}{\frac{1}{h_b}}=\frac{c}{\frac{1}{h_c}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}}=a+b+c$Nên: $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=1$Giải phương trình này với các nghiệm $h_a;h_b;h_c$nguyên dương với giả thiết $h_a\ge h_b\ge h_c$$h_c=1$=> ko có $h_a;h_b$thỏa mãn.$h_c=2$thì $h_b$ko thể =2 vì ko có $h_a$thỏa mãn; nếu $h_b=3$thì $h_a=6$; nếu $h_b\ge4$thì $h_a\le4$trái giả thiết nên loại.$h_c=3$thì $h_b=3;h_a=3$Nếu $h_c>3$thì $\frac{1}{h_c}< \frac{1}{3}$số lớn nhất nhỏ hơn trung bình cộng 3 số, vô lý=> Loại.Đối với nghiệm $h_a;h_b;h_c$=(6;3;2) có 1 đường cao bằng 2 tức là gấp 2 lần bán kính đường tròn nội tiếp - vô lý nên bị loại (Bạn có thể vẽ hình để chứng minh).Nên chỉ có 1 nghiệm $h_a;h_b;h_c$=(3;3;3) thỏa mãn và khi đó các cạnh $a=b=c=2\sqrt{3}$