a) Xét ΔCAE vuông tại C và ΔKAE vuông tại K có
AE chung
\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)(AE là tia phân giác của \(\widehat{CAB}\), K∈AB)
Do đó: ΔCAE=ΔKAE(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒EC=EK(hai cạnh tương ứng)
hay E nằm trên đường trung trực của CK(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: ΔCAE=ΔKAE(cmt)
⇒AC=AK(hai cạnh tương ứng)
hay A nằm trên đường trung trực của CK(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của CK(đpcm)
b) Ta có: AE là tia phân giác của \(\widehat{CAB}\)(gt)
⇔\(\widehat{EAB}=\frac{\widehat{CAB}}{2}=\frac{60^0}{2}=30^0\)(3)
Ta có: ΔABC vuông tại C(gt)
⇒\(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)
⇒\(\widehat{CBA}=90^0-60^0=30^0\)
hay \(\widehat{EBA}=30^0\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)
Xét ΔEBA có \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)(cmt)
nên ΔEBA cân tại E(định lí đảo của tam giác cân)
⇒EA=EB
Xét ΔACE vuông tại C và ΔBDE vuông tại D có
EA=EB(cmt)
\(\widehat{AEC}=\widehat{BED}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔACE=ΔBDE(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒CE=DE(hai cạnh tương ứng)
mà CE=KE(cmt)
nên DE=KE
Xét ΔKEB vuông tại K và ΔDEB vuông tại D có
EB chung
KE=DE(cmt)
Do đó: ΔKEB=ΔDEB(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒BK=BD(hai cạnh tương ứng)
c)Xét ΔEKB vuông tại K có EB là cạnh huyền(vì EB là cạnh đối diện với \(\widehat{EKB}=90^0\))
nên EB là cạnh lớn nhất trong ΔEKB(định lí)
⇒EB>EK(5)
Ta có: EC=EK(cmt)(6)
Từ (5) và (6) suy ra EC<EB
