Question

Cho tam giác ABC vuông tại B; K là trung điểm của AC . Trên tia đối của KB lấy D sao cho KD = KB.

a. Chứng minh: tam giác ABK = CKD

b. Gọi H là trung điểm của BC; AH cắt BD tại M; DH cắt AC tại N. C/m rằng góc MHB=NHC

c. C/m: Tam giác HMN cân

Answer 1

a) xét tam giác ABK và CKD có

AK=KC (vì k là trung điểm của AC)

BK=KD (gt)

góc BKA=DKC (đối đỉnh)

=>tam giác ABK=CKD

b) ta có \(\widehat{ABK}=\widehat{CKD}\)(2 góc tương ứng)

mà 2 góc ở vị trí SLT

nên AB//CD

mà AB=CD (2 cạnh tương ứng)

nên tứ giác ABCD là hình bình hành

+xét \(\Delta ABC\)vuông tại B có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

nên BK=AK=KC

mà BK=KD

=>AK=BK=CK=DK

ta có AK+CK=BK+DK hay BD=AC

xét hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC=BD nên ABCD là hình chữ nhật

+xét \(\Delta ABH\)và\(\Delta DCH\)có

BH=CH(gt)

AB=CD(cmt)

\(\widehat{ABH}=\widehat{DCH}=90^o\)(vì ABCD là HCN)

=>\(\Delta ABH=\Delta DCH\)=>\(\widehat{AHB}=\widehat{DHC}\)(2 góc tương ứng)

c)vì BK=CK => tam giác BKC cân

=>góc KBH=KCH

xét \(\Delta BMH\)và\(\Delta CNH\)có 

góc KBH=KCH(cmt)

góc AHB=DHC(cmt)

BH=CH (gt)

=>\(\Delta BMH=\Delta CNH\)

    =>MH=NH

xét tam giác MHN có 

MH=NH=> MHN cân tại H