Question

Cho tam giác  ABC vuông tại A,vẽ đường cao AH, trên đó lấy điểm D. Trên tia đối của tia HA lấy 1 điểm E sao cho HE = AD. Đường thẳng vuông góc với AH tại điểm D cắt AC tại F. Chứng minh rằng EB vuông góc với EF

 

 

Answer 1

GT	\(\Delta\)ABC, A=90o AH\(\perp\) BC, D\(\in\)AH E \(\in\)tia đối HA, HE=AD DF \(\perp\) AH, F \(\in\) AC
KL	EB \(\perp\) EF

Chứng minh:

Xét \(\Delta\)DEF vuông tại D

\(\Rightarrow\)EF² = DE² + DF² (định lí Phythagoras)

Xét \(\Delta\)BHE vuông tại H

\(\Rightarrow\)BE² = BH² + HE² (định lí Phythagoras)

Xét \(\Delta\)ABH vuông tại H

\(\Rightarrow\)AB² = AH² + BH² (định lí Phythagoras)

Xét \(\Delta\)AFD vuông tại D

\(\Rightarrow\)AF² = AD² + DF² (định lí Phythagoras)

Xét \(\Delta\)ABF vuông tại A 

\(\Rightarrow\)BF² = AB² +AF² (định lí Phythagoras)

\(\Rightarrow\)BF² = AH² +BH² +AD² +DF²

\(\Rightarrow\)BF² = (AD + DH)² + (BH² +AD²) + DF²

\(\Rightarrow\)BF² = (HE +DH)² +(BH² + HE²) + DF²

\(\Rightarrow\)BF² = DE² + BE² + DF² 

\(\Rightarrow\)BF² = (DE² + DF²) + BE²

\(\Rightarrow\)BF² = EF² + BE²

Xét \(\Delta\)BEF có: BF² = EF² + BE²

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)BEF vuông tại E (định lí Phythagoras)

\(\Rightarrow\)BEF = 90^o

\(\Rightarrow\)EB \(\perp\)EF (đpcm)