Question

cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm O ở trong tam giác vẽ OD vuông góc BC, OE vuông góc CA, OF vuông góc AB. Hãy xác định vị trí của O để OD² + OE² + OF² nhỏ nhất.

help me please ! 

Answer 1

Gọi AH là đường cao; hạ OK vuông góc với AH (K thuộc AH). 
Đặt P= OD^2 + OE^2 + OF^2 
P= OD^2 + OE^2 + OF^2 = OD^2 +OA^2 = AK^2 + KH^2 + OK^2 
---> P ≥ AK^2+KH^2 (dấu = xảy ra khi OK=0) 
đặt AK=x; KH=y, AH=h, nhận thấy x+y=h. 
Áp dụng (x+y)^2 ≥ 4xy hay [(x+y)^2] /2 ≥ 2xy 
P ≥ x^2 +y^2 = (x+y)^2 -2xy =h^2 -2xy ≥ h^2 - [(x+y)^2] /2 
P ≥ h^2 - (h^2)/2 = (h^2)/2 
Dấu = xảy ra khi đồng thời có OK=0 và x=y, tức khi O là trung điểm của AH