Question

cho tam giác ABC vuông tại A , tia phân giác BD của góc ABC cắt AC tại D . Vẽ DH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) .

a) Chứng minh rằng tam giác ABD = tam giác HBD . Từ đó suy ra BD là trung trực của AH

b) Chứng minh AD < DC

Answer 1

A)XÉT \(\Delta ABD\)VÀ\(\Delta HBD\)CÓ

\(\widehat{BAD}=\widehat{BHD}=90^o\)

\(\widehat{ABD}=\widehat{DBH}\left(GT\right)\)

BD LÀ CẠNH CHUNG

=>\(\Delta ABD\)=\(\Delta HBD\)(CẠNH HUYỀN - GÓC NHỌN ) ( ĐPCM)

GỌI I LÀ GIAO ĐIỂM CỦA BD VÀ AH

XÉT \(\Delta ABI\)VÀ\(\Delta HBI\)CÓ

\(AB=BH\left(\Delta ABD=\Delta HBD\right)\)

\(\widehat{ABD}=\widehat{DBH}\left(GT\right)\)

BI LÀ CẠNH CHUNG

=>\(\Delta ABI\)=\(\Delta HBI\)(C-G-C)

\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{HIB}\)( HAI GÓC TƯƠNG ỨNG)

MÀ HAI GÓC NÀY KỀ BÙ 

\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{HIB}=\frac{180^o}{2}=90^o\left(1\right)\)

mà\(\Delta ABI\)=\(\Delta HBI\)(C-G-C)

=> AI=HI( HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG ) (2)

TỪ 1 VÀ 2 => BI LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA AH HAY BD LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA AH(ĐPCM)

B)

b)  

Vì  \(\Delta\)DBA =\(\Delta\) DBH ( cm ở câu a )

=) AD = DH 

Xét\(\Delta\)DHC ( DHC = 90 ) có :

DC là cạnh huyền 

\(\Rightarrow\) DC là cạnh lớn nhất 

\(\Rightarrow DC>DH\)

mà DH = AD

\(\Rightarrow AD< DC\)

Answer 2

a, Xét △ABD vuông tại A và △HBD vuông tại H

Có: BD là cạnh chung

       ABD = HBD (gt)

=> △ABD = △HBD (ch-gn)

=> AB = BH (2 cạnh tương ứng) => B thuộc đường trung trực của AH

và AD = HD (2 cạnh tương ứng) => D thuộc đường trung trực của AH

=> BD là đường trung trực của AH

b, Xét △HDC vuông tại H có: DC > DH (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

=> DC > AD

Answer 3

a) Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta HBD\)có :

                  \(\widehat{BAD}=\widehat{AHD}\left(=90^o\right)\)

                \(BD\)chung

                  \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta HBD\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow AB=BH\)( 2 cạnh tương ứng ) \(\Rightarrow\)B thuộc đường trung trực của AH \(\left(1\right)\)

và \(AD=HD\)( 2 cạnh tương ứng ) \(\Rightarrow\)D thuộc đường trung trực của AH \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\)BD là trung trực của AH

b) Xét \(\Delta DHC\)vuông tại H , ta có :

      \(DH< DC\left(cgv< ch\right)\)

mà \(AD=HD\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AD< DC\)

Answer 4

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\left(gt\right)\\\widehat{BAD}=\widehat{BHD}\left(=90^{\text{o}}\right)\end{cases}\Rightarrow\widehat{BAD}-\widehat{ABD}=\widehat{BHD}-\widehat{HBD}\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{HDB}}\)

Xét \(\Delta ABD\text{ và }\Delta HBD\text{ có :}\)

\(\hept{\begin{cases}\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\left(gt\right)\\\widehat{ADB}=\widehat{HDB\left(cmt\right)}\\AD\text{ chung}\end{cases}\Rightarrow\Delta ABD=\Delta HBD}\)(g.c.g)

=> AB = BH ; AD = DH

Gọi I là giao điểm của AH và BD

Xét \(\Delta\)ABI và  \(\Delta\)HBI có : 

\(\hept{\begin{cases}AB=AH\\\widehat{ABI}=\widehat{HBI}\\BI\text{ chung}\end{cases}}\)  \(\Delta\)ABI =  \(\Delta\)HBI (c.g.c)

=> \(\widehat{AIB}=\widehat{HIB}\)(góc tương ứng)

=> AI = HI (cạnh tương ứng)(1) 

mà \(\widehat{AIB}+\widehat{HIB}=180^{\text{o}}\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{HIB}=90^{\text{o}}\Rightarrow BI\perp AH\)(2)

Từ (1)(2) => BI là trung trực của AH

<=>   BD là trung trực của AH

b) Vì   \(\Delta\)DHC vuông tại H 

=> HD² + HC² = DC² (định lý Py-ta-go)

=> HD² < DC²

=> HD < DC

=> AD < DC (Vì AD = HD (cmt))