Đặt BC = a; AC = b; AB = c
Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta ABC\)vuông tại A, ta có: \(a^2=b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2a^2+2ab+2bc+2ca=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a+b\right)\left(a+c\right)=\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)(1)
Áp dụng định lý về đường phân giác trong tam giác, ta có:
\(\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{CE}{AE+CE}=\frac{a}{a+c}\Rightarrow\frac{CE}{b}=\frac{a}{a+c}\)
\(\Rightarrow CE=\frac{ab}{a+c}\)
Lại áp dụng định lý về đường phân giác trong tam giác, ta có:
\(\frac{BO}{OE}=\frac{BC}{CE}=\frac{a}{\frac{ab}{a+c}}=a.\frac{a+c}{ab}=\frac{a+c}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{BO}{OE+BO}=\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{BO}{BE}\)
Tương tự ta có: \(\frac{CO}{CF}=\frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{BO}{BE}.\frac{CO}{CF}=\frac{a+c}{a+b+c}.\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{BO}{BE}.\frac{CO}{CF}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
