Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ HD vuông góc với AC, HE vuông góc với AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HB, HC. Chứng minh: DEMN là hình thang vuông
Các bạn nhớ giải CHI TIẾT thi minh mới tích đúng!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Bài làm
a) Vì \(\widehat{BAC}=\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^0\)
=> tứ giác AEDH là hình chữ nhật.
=> Hai đường chéo AH và ED cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà AH = ED ( tính chất đường chéo của hình vuông )
Gọi giao điểm của AH và ED là O
=> Tam giác OHD cân tại O.
=> \(\widehat{AHD}=\widehat{EDH}\) (1)
Mà tam giác DHC vuông tại D
Mà DN là đường trung tuyến ( do N là trung điểm HC )
=> DN = HN = HC
=> Tam giác DHN cân tại N
=> \(\widehat{DHN}=\widehat{HDN}\)( hai góc ở đáy tam giác cân ) (2)
Cộng (1) vào (2), ta được: \(\widehat{AHD}+\widehat{DHN}=\widehat{EDH}+\widehat{HDN}\)
=> \(\widehat{AHC}=\widehat{EDN}\)
hay \(90^0=\widehat{EDN}\)
=> DN vuông góc với ED (3)
Vì tam giác OEH cân tại O ( cmt )
=> \(\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\)( hai góc ở đáy tam giác cân ) (4)
Mà tam giác BEH vuông tại H
Mà EM là trung tuyến ( Do N là trung điểm BH )
=> EM = BM = MH
=> Tam giác EMH cân tại M.
=> \(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\) (5)
Cộng (4) và (5) ta được: \(\widehat{OEH}+\widehat{MEH}=\widehat{OHE}+\widehat{MHE}\)
=> \(\widehat{OEM}=\widehat{OHM}\)
hoặc \(\widehat{DEM}=\widehat{AHB}\)
hay \(\widehat{DEM}=90^0\)
=> ME vuông góc với ED (6)
Từ (3) và (6) => ME // DN
=> DEMN là hình thang
Mà \(\widehat{DEM}=90^0\)( cmg )
=> Hình thang DEMN là hình thang vuông ( đpcm )
