a) Vì D là điểm đối xứng với A qua \(M\left(gt\right)\)
=> M là trung điểm của \(AD.\)
=> \(AM=DM.\)
Xét 2 \(\Delta\) \(AMB\) và \(DMC\) có:
\(AM=DM\left(cmt\right)\)
\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (vì 2 góc đối đỉnh)
\(MB=MC\) (vì M là trung điểm của \(BC\))
=> \(\Delta AMB=\Delta DMC\left(c-g-c\right).\)
b) Theo câu a) ta có \(\Delta AMB=\Delta DMC.\)
=> \(\widehat{ABM}=\widehat{DCM}\) (2 góc tương ứng).
Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong.
=> \(AB\) // \(CD.\)
c) Theo câu a) ta có \(\Delta AMB=\Delta DMC.\)
=> \(AB=DC\) (2 cạnh tương ứng).
Lại có: \(\widehat{ABM}=\widehat{DCM}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{DCB}.\)
Xét 2 \(\Delta\) \(ABC\) và \(DCB\) có:
\(AB=DC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{ABC}=\widehat{DCB}\left(cmt\right)\)
Cạnh BC chung
=> \(\Delta ABC=\Delta DCB\left(c-g-c\right)\) (1).
=> \(\widehat{ACB}=\widehat{DBC}\) (2 góc tương ứng).
Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong.
=> \(AC\) // \(BD.\)
Từ (1) => \(\widehat{BAC}=\widehat{CDB}\) (2 góc tương ứng).
Mà \(\widehat{BAC}=90^0\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{CDB}=90^0.\)
=> \(CD\perp BD.\)
Mà \(AC\) // \(BD\left(cmt\right)\)
=> \(AC\perp CD.\)
d) Có 2 cách:
Cách 1:
Ta có: \(AC\perp CD\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{DCA}=90^0.\)
Mà \(\widehat{BAC}=90^0\left(gt\right).\)
=> \(\widehat{BAC}=\widehat{DCA}=90^0.\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(ABC\) và \(CDA\) có:
\(\widehat{BAC}=\widehat{DCA}=90^0\)
\(AB=CD\left(cmt\right)\)
Cạnh AC chung
=> \(\Delta ABC=\Delta CDA\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Cách 2:
Vì \(AB\) // \(CD\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{CDA}\) (vì 2 góc so le trong).
Xét 2 \(\Delta\) \(ABC\) và \(CDA\) có:
\(AB=CD\left(cmt\right)\)
\(\widehat{ABC}=\widehat{CDA}\left(cmt\right)\)
Cạnh AC chung
=> \(\Delta ABC=\Delta CDA\left(c-g-c\right).\)
e) Theo câu d) ta có \(\Delta ABC=\Delta CDA.\)
=> \(BC=AD\) (2 cạnh tương ứng).
Ta có: M là trung điểm của \(AD\left(cmt\right)\)
=> \(AM=\frac{1}{2}AD\) (tính chất trung điểm).
Mà \(AD=BC\left(cmt\right)\)
=> \(AM=\frac{1}{2}BC\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
