Question

Cho tam giác ABC vuông tại A. Dường tròn tâm O đường kính AB cắt các đoạn BC và OC lần lượt tại D và I. Gọi H là hình chiếu của A lên OC, AH cắt BC tại M

a) Chứng minh: Tứ giác ACDH nội tiếp và góc CHD = góc ABC

b) Chứng minh tam giác OHB  và OBC đồng dạng 

c) GỌI K là trung điểm của BD. CHứng minh MD. BC= MB.CD và MB.MD= MK.MC

Answer 1

a, do tam giác ABC vuông tại A và có đường tròn tâm O đường kính AB => AC vuông góc với AO hay AC là tia tiếp tuyến của (O)

nối AD, Xét tứ giác ACDH có: góc ADC = 90^o ( kề bù với góc ADB nội tiếp chắn nửa đường tròn (o) )

                                                   góc AHC = 90^o ( do H là hình chiếu của A trên OC )

=> hai đỉnh H và D nằm kề nhau và cùng nhìn đoạn AC dưới hai góc bằng nhau (= 90^o) => tứ giác ACDH là tứ giác nội tiếp (đpcm)

=> góc CAD = góc CHD ( hai góc nt cùng chắn cung CD )

mà góc CAD = góc ABC ( do ACD là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC và cùng chắn dây cung AD với góc nột tiếp ABC )

=> góc CHD = góc ABC ( đpcm)

b,  Áp dụng hệ tức lượng cho tam giác ACO vuông tại A và đường cao AH, ta có: AO²= HO . OC

mà AO = OB (= bán kính) => OB²= HO. OC hay \(\frac{OH}{OB}=\frac{OB}{OC}\)

Xét tam giác OHB và OBC có:

góc HOB là góc chung

\(\frac{OH}{OB}=\frac{OB}{OC}\)

=> hai tam giác trên đồng dạng (c.g.c) (đpcm)