a) Xét \(\Delta\)\(\text{ }\text{ABD}\) và \(\text{ΔHBD}\) có
\(\widehat{\text{BAD}}=\widehat{\text{BHD}}=\text{90}^{\text{o}}\)
\(\text{BD}\) là cạnh chung
\(\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{HBD}}\) (do \(\text{BD}\) là tia phân giác của \(\widehat{\text{ABD}}\) )
Vậy \(\text{ΔABD = ΔHBD}\) (cạnh huyền – góc nhọn)
___________________________________________________
b) Từ \(\text{ΔABD = ΔHBD}\) (câu a) suy ra\(\text{ AD = HD}\) (hai cạnh tương ứng)
Xét \(\text{ΔDHC}\) vuông tại \(\text{H}\) có \(\text{DC}\) là cạnh huyền nên \(\text{DC}\) là cạnh lớn nhất
Do đó \(\text{DC}\)\(>\text{HD}\) nên \(\text{DC}>AD\)
________________________________________________________
c) Xét \(\text{ΔBKC}\) có \(\text{CA ⊥ BK, KH ⊥ BC}\) và \(\text{CA}\) cắt \(\text{KH}\) tại \(\text{D}\)
Do đó \(\text{D}\) là trực tâm của \(\text{BKC}\), nên \(\text{BD ⊥ KC (1)}\)
Gọi \(\text{J}\) là giao điểm của \(\text{BD và KC}\)
Xét \(\text{ΔBKJ}\) và \(\text{ΔBCJ}\) có
\(\widehat{\text{BJK}}=\widehat{BJC}=90^o\)
\(\text{BJ}\) là cạnh chung
\(\widehat{\text{KBJ}}=\widehat{\text{CBJ}}\) (do \(\text{BJ}\) là tia phân giác của \(\widehat{\text{ABD}}\) )
\(\Rightarrow\) \(\text{ΔBKJ = ΔBCJ}\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Suy ra\(\text{ KJ = CJ}\) (hai cạnh tương ứng)
Hay \(\text{J}\) là trung điểm của \(\text{KC}\)
theo bài ra : \(\text{I}\) là trung điểm của \(\text{KC}\) nên \(\text{I}\) và \(\text{J}\) trùng nhau.
Vậy \(\text{B, D, I}\) thẳng hàng
