a, xét tam giác AHB có : ^AHB = 90 và HE _|_ AB => AE.AB = AH^2
xét tam giác AHC có : ^AHC = 90 và HF _|_ AC => AF.AC = AH^2
=> AE.AB = AF.AC
b, tứ giác AEHF có : ^FAE = ^HEA = ^HFA = 90
=> AEHF là hình chữ nhật
=> EF = AH
xét tam giác ABC có : ^ABC = 90 và AH _|_ BC => AH^2 = HB.HC
=> EF^2 = HB.HC
c, xét tam giác ABC có : ^ABC = 90; AH _|_ BC => AB^2 = BH.HC
=> AB^3 = BH.BC.AB
=> AB^3/BC^2 = BH.AB/BC
xét tam giác HEB và tam giác CAB có : ^ABC chung và ^HEB = ^CAB = 90
=> tam giác HEB đồng dạng với tam giác CAB (g-g)
=> BE/BH = AB/BC
=> BE = AB.BH/BC = AB^3/BC^2
d, có AH^4 = (AH^2)^2 = (BH.HC)^2 = BH^2.HC^2
có BH^2 = BE.BA và HC^2 = CF.CA
=> AH^4 = BE.BA.CF.CA
mà có BA.CA = AH.BC
=> AH^4 = AH.BC.BE.CF
=> AH^3 = BC.BE.CF
a/ Xét tg vuông AEH và tg vuông ABC có
\(\widehat{EAH}=\widehat{ACB}\) => tg AEH đồng dạng với tg ABC \(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AH}{BC}\)
Tương tự c/ được tg AFH đồng dạng với tg ABC \(\Rightarrow\frac{AF}{AB}=\frac{AH}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\Rightarrow AE.AB=AF.AC\left(dpcm\right)\)
b/ Ta có
\(HE\perp AB;AF\perp AB\) => HE//AF (1)
\(HF\perp AC;AE\perp AC\) => HF//AE (2)
\(\widehat{A}=90^o\)
Từ (1) (2) và (3) => AEHF là HCN => EF=AH (trong HCN 2 đường chéo = nhau)
Xét tg vuông ABC có \(AH^2=BH.HC\) (Trong tg vuông bình phương đường cao từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích các hình chiếu của 2 cạnh bên trên cạnh huyền)
\(\Rightarrow EF^2=BH.HC\left(dpcm\right)\)
c/ Xét tg vuông ABH có
\(BH^2=BE.AB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền) \(\Rightarrow BE=\frac{BH^2}{AB}\)
Xét tg vuông ABC có \(AB^2=BH.BC\) (lý do như trên) \(\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}\Rightarrow BH^2=\frac{AB^4}{BC^2}\) Thay vào biểu thức tính BE có
\(BE=\frac{\frac{AB^4}{BC^2}}{AB}=\frac{AB^3}{BC^2}\left(dpcm\right)\)
