Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I,K theo thứ tự là trung điểm của HA, HC. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt IK tại E. Chứng minh:

a) IH=EC

b) Tam giác ACI= tam giác EIC

c) IK//AC và IK= 1/2AC

d) BI vuông góc với AK

Answer 1

a.

Xét tam giác IHK và tam giác ECK có:

IHK = ECK (=90)

KH = KC (K là trung điểm của HC)

K1 = K2 (2 góc đối đỉnh)

=> Tam giác IHK = Tam giác ECK (c.g.c) (1)

=> IH = CE (2 cạnh tương ứng) (2)

b.

Tam giác IHK = Tam giác ECK (theo 1)

=> HIK = CEK (2 góc tương ứng) mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

=> AH // CE 

=> AIC = ICE (2 góc so le trong) (3)

IH = CE (theo 2)

mà IH = IA (I là trung điểm của HA)

=> IA = CE (4)

Xét tam giác ACI và tam giác EIC có:

IA = CE (theo 4)

IC là cạnh chung

AIC = ECI (theo 3)

=> Tam giác ACI = Tam giác EIC (c.g.c) (5)

c.

Tam giác ACI = Tam giác EIC (theo 5)

=> AC = EI (2 cạnh tương ứng) (6)

=> ACI = CIE (2 góc tương ứng) mà 2 góc này nằm ở vị trì so le trong

=> IK // AC

Tam giác IHK = Tam giác ECK (theo 1)

=> IK = EK (2 cạnh tương ứng)

=> K là trung điểm của IE

=> IK = EK = 1/2 IE

mà AC = IE (theo 6)

=> IK = 1/2 AC