Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên các cạnh AB,AC.

a)CM tam giác AHD đồng dạng với tam giác ABH và AH^2=AD.AB.

b)CM tam giác AED đồng dạng với tam giác ABC.

c) Gọi O là trung điểm của BC. CM AO vuông góc với DE.

d) Giả sử BC=2a không đổi. Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để diện tích của ADOE đạt giá trị lớn nhất? TÌm giá trị lớn nhất đó theo a.

Answer 1

a) Xét tam giác AHD và tam giác ABH có:

Góc A chung

\(\widehat{ADH}=\widehat{AHB}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AHD\sim\Delta ABH\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AD}{AH}\Rightarrow AH^2=AB.AD\)

b) Ta có tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Vậy thì \(\widehat{DHA}=\widehat{DEA}\) 

Lại có \(\widehat{DHA}=\widehat{CBA}\) nên \(\widehat{DEA}=\widehat{CBA}\)

Suy ra \(\Delta ADE\sim\Delta ACB\left(g-g\right)\)

c) Gọi I là giao điểm của AO và DE.

Xét tam giác vuông ABC có AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OA = OC  hay \(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\)

Lại có  \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)  nên \(\widehat{OAC}+\widehat{DEA}=\widehat{OCA}+\widehat{ABC}=90^o\)

Suy ra \(\widehat{AIE}=90^o\) hay \(AO\perp DE\)

d) Ta có do \(AO\perp DE\) nên:

\(S_{ADOE}=\frac{1}{2}DE.OA=\frac{1}{2}AH.\frac{BC}{2}=\frac{1}{2}a.AH\)

Vậy thì \(S_{ADOE}\) lớn nhất khi AH lớn nhất.

Xét tam giác vuông ABC, ta có

 \(BC.AH=AB.AC\le\frac{AB^2+AC^2}{2}=\frac{BC^2}{2}=2a^2\)

\(\Rightarrow AH\le a\)

Vậy AH lớn nhất khi AH = a tức là tam giác ABC vuông cân tại A.