Question

cho tam giác abc vuông tại a , đường cao ah . Đường tròn tâm o đường kính ah cắt các cạnh ab ,ac lần lượt tại m và n( a khác m và n ) .Gọi i,p,q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng oh,bh,ch.

a) Cm góc ahn=góc acb

b) tg bmnc nội tiếp

c)Cm i là trực tâm tam giác apq

Answer 1

Lời giải:

a. $\widehat{ANH}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn) 

$\Rightarrow HN\perp AC$

$\Rightarrow \widehat{NHC}=90^0-\widehat{NCH}=90^0-\widehat{ACB}(1)$

Lại có:

$\widehat{NHC}=\widehat{AHC}-\widehat{AHN}=90^0-\widehat{AHN}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{AHN}=\widehat{ACB}$

b.

Ta thấy $\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\widehat{MAN}=90^0$

$\Rightarrow AMHN$ là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{AHN}=\widehat{AMN}$

Kết hợp với kết quả phần a, $\widehat{AHN}=\widehat{ACB}$

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{ACB}$

$\Rightarrow BMNC$ là tứ giác nội tiếp.

c.

Hiển nhiên $AH\perp PQ, I\in AH$ nên $AI\perp PQ$

Muốn chứng minh $I$ là trực tâm tam giác $APQ$, ta chỉ cần chỉ ra $PI\perp AQ$ là đủ.

Muốn chứng minh $PI\perp AQ$, ta cần chứng minh $\widehat{PIH}=\widehat{AQH}$

Muốn chứng minh $\widehat{PIH}=\widehat{AQH}$, ta cần chỉ ra $\triangle AHQ\sim \triangle PHI$

2 tam giác này đã có sẵn $\widehat{H}$ vuông. Giờ chỉ cần chỉ ra $\frac{AH}{PH}=\frac{HQ}{HI}$ bằng nhau thì 2 tam giác đó sẽ đồng dạng theo TH c.g.c

Thật vậy:

$\frac{AH}{PH}=\frac{2OH}{\frac{1}{2}BH}=\frac{4OH}{BH}=\frac{4OH.CH}{BH.CH}=\frac{4OH.2HQ}{AH^2}=\frac{8.OH.HQ}{(2OH)^2}=\frac{2HQ}{OH}=\frac{HQ}{\frac{1}{2}OH}=\frac{HQ}{HI}$

Do đó ta có đpcm

 

Answer 2

Hình vẽ:

Answer 3

Yêu cầu bạn Nguyễn Bảo Châu không trả lời lung tung!

Answer 4

vbnmlkjh