Câu hỏi của Khiêm Nguyễn Gia

Question

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Biết $AB=CH$. Chứng minh: $\cos\widehat{B}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

Lê Song Phương · Accepted Answer

Ta có $AC^2=CH.BC=AB.BC$

Mà $BC^2=AB^2+AC^2$ $=AB^2+AB.BC$

$\Leftrightarrow AB^2+AB.BC-BC^2=0$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2+\dfrac{AB}{BC}-1=0$

$\Leftrightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$  (loại TH $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}< 0$)

$\Leftrightarrow\cos B=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$, đpcm.

Câu trả lời: Ta có $AC^2=CH.BC=AB.BC$

Mà $BC^2=AB^2+AC^2$ $=AB^2+AB.BC$

$\Leftrightarrow AB^2+AB.BC-BC^2=0$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2+\dfrac{AB}{BC}-1=0$

$\Leftrightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$  (loại TH $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}< 0$)

$\Leftrightarrow\cos B=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$, đpcm.