Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng với nhau qua điểm A.

Answer 1

* Vì E đối xứng với D qua AB

⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE

⇒ AD = AE (tính chất đường trung trực)

Nên ∆ ADE cân tại A

Suy ra: AB là đường phân giác của ∠ (DAE) ⇒ ∠ A 1 =  ∠ A 2

* Vì F đối xứng với D qua AC

⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF

⇒ AD = AF (tính chất đường trung trực)

Nên  ∆ ADF cân tại A

Suy ra: AC là phân giác của  ∠ (DAF)

⇒  ∠ A 3 =  ∠ A 4

∠ (EAF) =  ∠ EAD) +  ∠ (DAF) = ∠ A 1 +  ∠ A 2 +  ∠ A 3 +  ∠ A 4 = 2( ∠ A 1 +  ∠ A 3 ) = 2 . 90 0 = 180 0

⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD

 

Nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A.