Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và một điểm D di động trên đoạn AH. Trên các đoạn DB,DC lần lượt lấy E và F sao cho CE = CA, BF = BA. Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp tam giác HEF luôn thuộc một đường cố định.

Answer 1

Gọi I là giao của BF và CE, đường tròn (HEF) cắt BC tại S khác H. Vẽ (B;BA) và (C;CA) cắt nhau tại M khác A

Kéo dài BD cắt (C) tại G khác E, CD cắt (B) tại K khác F. Dễ thấy A,H,M thẳng hàng nên ta có:

DF.DK = DA.DM = DE.DG do đó 4 điểm E,F,G,K đồng viên

Ta có BF² = BA² = BE.BG suy ra \(\Delta\)BEF ~ \(\Delta\)BFG (c.g.c). Tương tự \(\Delta\)CEF ~ \(\Delta\)CKE (c.g.c)

Từ đó ^BFE = ^BGF = ^CKE = ^CEF, suy ra \(\Delta\)EIF cân tại I

Gọi BF,CE cắt (HEF) lần lượt tại U,V. Dễ có SV // BE, SU // CF và FU = EV (Vì IE = IF)

Ta lại có \(BH.BS=BU.BF;CH.CS=CV.CE\Rightarrow\frac{BS}{CS}.\frac{BH}{CH}=\frac{BF}{CE}.\frac{BU}{CV}\)

Hay \(\frac{BS}{CS}.\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{AB}{AC}.\frac{BU}{FU}.\frac{EV}{CV}=\frac{AB}{AC}.\frac{BS^2}{CS^2}\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{BS}{CS}\)

Suy ra S là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC

Vì vậy S cố định, khi đó đường tròn (HEF) đi qua hai điểm H,S cố định

Vậy thì tâm L của đường tròn (HEF) luôn thuộc trung trực của SH cố định (đpcm).