Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Vẽ HE vuông góc AB, HF vuông góc AC
a/ Chứng minh AEHF là hình chữ nhật. Từ dó suy ra AH = EF.
b/Trên tia HE lấy điểm P sao cho E là trung điểm HP. Chứng minh PAFE là hình bình hành.
c/ Gọi M là trung điểm HC, N là giao điểm AH và EF. Chứng minh BN vuông góc AM.
d/ Trên tia HF lấy diểm Q sao cho F là trung điểm HQ. Chứng minh P, A, Q thẳng hàng.
a) Xét tứ giác EHFA có :
BAC = 90*
HF \(\perp\)AC(gt)
HE\(\perp\)AB (gt)
=> EHFA là hình chữ nhật
=> AH = EF
b) Vì EHFA là hình chữ nhật (cmt)
=> EH//AF , EH= AF
Mà E là trung điểm PH
=> PE = EH
=> PE = AF
Xét tứ giác PEFA có :
PE = AF
PE// AF ( EH//AF , E\(\in\)PH )
=> PEFA là hình bình hành
d) Vì PEFA là hình bình hành (cmt)
=> FE//PA (1)
Ta có : HF = FQ (gt)
MÀ HF = EA
=> FQ = EA
Xét \(\Delta HAQ\)có :
AF là trung trực
=> \(\Delta HAQ\) cân tại A
=> AH = AQ
Mà AH = EF (cmt)
=> EF = AQ
Xét tứ giác EFQA ta có :
EF = AQ
EA = FQ
=> EFQA là hình bình hành
=> EF// AQ(2)
(1)(2) => P,A,Q thẳng hàng
