Nối A với D và nối A với E
Gọi I là giao của HD với AB; K là giao của HE với AC
Ta có
\(HD\perp AB;AC\perp AB\)=> HD //AC
\(HE\perp AC;AB\perp AC\) => HE // AB
=> AKHI là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một)
Mà \(\widehat{BAC}=90^o\)
=> AKHI là hình chữ nhật (hbh có 1 góc vuông là HCN) \(\Rightarrow IH=KA;AI=HK\)
Xét tg vuông ADI và tg vuông EAK có
ID=IH=AK
AI=HK=EK
=> tg ADI = tg EAK (hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bàng nhau) \(\Rightarrow\widehat{DAI}=\widehat{AEK}\)
Xét tg vuông EAK có \(\widehat{AEK}+\widehat{EAK}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DAI}+\widehat{EAK}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{DAI}+\widehat{EAK}+\widehat{BAC}=90^o+90^o=180^o\)
=> D, A, E thẳng hàng
Xét tg vuông ADI và tg vuông AHI có
AI chung; ID=IH
\(\Rightarrow\Delta ADI=\Delta AHI\Rightarrow AD=AH\) (hai tg vuông có hai cạnh góc vuông = nhau)
Xét tg vuông BDI và tg vuông BHI có
BI chung; ID=IH
\(\Rightarrow\Delta BDI=\Delta BHI\Rightarrow BD=BH\)(hai tg vuông có hai cạnh góc vuông = nhau)
Xét tg ADB và tg AHB có
AD=AH; BD=BH (cmt)
AB chung
=> \(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta AHB\left(c.c.c\right)\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{AHB}=90^o\)
C/m tương tự ta cũng có \(\Delta AEC=\Delta AHC\Rightarrow\widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^o\)
Xét tg BDEC có
\(BD\perp DE;CE\perp DE\) => BD // CE => BDEC là hình thang
Mà \(\widehat{ADB}=90^o\)
=> BDEC là hình thang vuông
\(\Rightarrow S_{BDEC}=\frac{\left(BD+CE\right).DE}{2}\)
Ta có
\(\Delta ADB=\Delta AHB\left(cmt\right)\Rightarrow BD=BH;AD=AH\)
\(\Delta AEC=\Delta AHC\Rightarrow CE=CH;AE=AH\)
\(\Rightarrow AD=AH=AE\Rightarrow DE=AD+AE=2.AH\)
\(\Rightarrow S_{BDEC}=\frac{\left(BD+CE\right).DE}{2}=\frac{\left(BH+CH\right).DE}{2}=\frac{BC.2.AH}{2}=BC.AH\)
Mà
\(S_{\Delta ABC}=\frac{BC.AH}{2}=\frac{S_{BDEC}}{2}\Rightarrow S_{BDCE}=2S_{\Delta ABC}\)
\(S_{BDEC}\) lớn nhất khi \(S_{\Delta ABC}\) lớn nhất
Ta có
\(S_{\Delta ABC}=\frac{AB.AC}{2}\) => \(S_{\Delta ABC}\) lớn nhất khi AB.AC lớn nhất
Theo bất đẳng thức cauchy ta có
\(AB^2+AC^2\ge2.AB.AC\Leftrightarrow AB.AC\le\frac{AB^2+AC^2}{2}\) Dấu bằng xảy ra khi AB=AC
Vậy để \(S_{BDEC}\) lớn nhất thì \(\Delta ABC\) phải là tam giác vuông cân
