Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB).Kẻ AH vuông góc với BC. Gọi K là điểm đối xứng của A qua H.Qua K kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC tại E, cắt AC tại I.
a/ Chứng minh: ABKE là hình thoi
b/ Chứng minh: E là trực tâm của tam giác AKC
c/ Gọi M là trung điểm của EC. Chứng minh HI vuông góc với IM
2/. Tam giác AKC có
CH là đường cao
AE là đường cao
Ch cắt AE tại E
Nên E là trực tâm của tam giác AKC
3/. Ta có góc HAC + góc HCA = 90 độ
Ta có góc IEC + góc ECI = 90 độ => góc ICE + góc HCA = 90 độ
=> góc HAC = góc IEC (1)
Ta có IH = AH (tam giác AIK vuông tại I, HI là trung tuyến)
=> tam giác AHI cân tại H => góc HAI = góc HIA => góc HAC = góc HIA (2)
Ta có IM = MẸ (tam giác EIC vuông tại I, IM là trung tuyến
=> tam giác EMI cân tại M => góc IEM = góc MIE => góc IEC = góc MIE (3)
Từ (1)(2)(3) ta suy ra góc HIA = góc MIE (4)
Ta có góc HIA + góc HIE = 90 độ(5)
góc HIE + góc EIM = 90 độ(6)
Từ (4)(5)(6) ta suy ra góc HIE + góc EIM = 90 độ => HI vuông góc với IM
