Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ). Gọi M là trung điểm đoạn BC. Vẽ MD vuông góc với AB tại D và ME vuông góc với AC tại E.
a) CM: Tứ giác ADME là hình chữ nhật
b) CM: Tứ giác CMDE là hình bình hành
c) Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Tứ giác MHDE là hình gì? Vì sao?
d) Qua A vẽ đường thẳng song song với DH cắt DE tại K, đường thẳng HK cắt AC tại N. CMR: HN^2=AN.CN
a) Vì \(MD\perp AB\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{MDA}=90^0.\)
Vì \(ME\perp AC\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{MEA}=90^0.\)
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{DAE}=90^0.\)
Xét tứ giác \(ADME\) có:
\(\widehat{MDA}=\widehat{MEA}=\widehat{DAE}=90^0\left(cmt\right)\)
=> Tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).
b) Vì:
\(\left\{{}\begin{matrix}DM\perp AB\left(gt\right)\\AC\perp AB\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(DM\) // \(AC\) (từ vuông góc đến song song).
Hay \(DM\) // \(EC\) (1).
Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\left(gt\right)\)
=> D là trung điểm của \(AB\) (định lí đường trung bình của tam giác).
Xét \(\Delta ABC\) có:
D là trung điểm của \(AB\left(cmt\right)\)
\(M\) là trung điểm của \(BC\left(gt\right)\)
=> \(DM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)
=> \(DM=\frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
+ Vì:
\(\left\{{}\begin{matrix}ME\perp AC\left(gt\right)\\AB\perp AC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(ME\) // \(AB\) (từ vuông góc đến song song).
Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\left(gt\right)\)
=> \(E\) là trung điểm của \(AC\) (định lí đường trung bình của tam giác).
=> \(EC=\frac{1}{2}AC\) (tính chất trung điểm).
Mà \(DM=\frac{1}{2}AC\left(cmt\right)\)
=> \(DM=EC\) (2).
Từ (1) và (2) => Tứ giác \(CMDE\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
c) Theo câu b) ta có Tứ giác \(CMDE\) là hình bình hành.
=> \(DE\) // \(CM\) (định nghĩa hình bình hành).
Hay \(DE\) // \(HM.\)
=> Tứ giác \(MHDE\) là hình thang (định nghĩa hình thang).
Xét \(\Delta ABC\) có:
\(M\) là trung điểm của \(BC\left(gt\right)\)
\(E\) là trung điểm của \(AC\left(cmt\right)\)
=> \(ME\) là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)
=> \(ME=\frac{1}{2}AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Mà \(AD=\frac{1}{2}AB\) (vì D là trung điểm của \(AB\) ).
=> \(ME=AD\) (3).
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\left(gt\right)\) có:
D là trung điểm của \(AB\left(cmt\right)\)
=> \(HD\) là đường trung tuyến của tam giác vuông \(ABH.\)
=> \(HD=\frac{1}{2}AB\) (tính chất tam giác vuông).
Mà \(AD=\frac{1}{2}AB\) (như ở trên).
=> \(HD=AD\) (4).
Từ (3) và (4) => \(ME=HD.\)
Xét hình thang \(MHDE\) có:
\(ME=DH\left(cmt\right)\)
=> Hình thang \(MHDE\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).
Chúc bạn học tốt!
Vũ Minh Tuấn câu d ez mà sao ko làm -,-
câu d (bước làm):
-B1:Bạn chứng minh đc tam giác DHE = tam giác DME (c.c.c)
=>HE=MD. Mà MD=AE(hcn ADME) =>AE=HE
=>\(\widehat{DHE}=\widehat{DME}=90^o\)
hay DH vuông góc với HE
Mà AK // DH (gt)
=>AK vuông góc với HE
-B2:Có HM // EK ( hình thang cân MHDE)
Mà AH vuông góc với HM
=>AH vuông với EK
-B3:Xét tam giác AHE, có
AK vuông vs HE(cmt)
EK vuông vs AH(cmt)
=>K là trực tâm của tam giác AHE
=>HK vuông với AE hay HN vuông vs AE
=>Tam giác HNE vuông tại N
-B4:Có tam giác HNE vuông tại N nên ta có:
HN2+EN2=HE2
=>HN2=HE2-EN2
Ta dùng hằng đẳng thức thứ 3 trong toán đại :))
=>HN2=(HE-EN)(HE+EN)
=>HN2=AN.CN (đpcm)
(Mấy phần in đậm liên quan tới nhau, bạn nhớ đọc kĩ)
Giảng lại 2 dòng cuối:
+)HE-EN: vì HE=AE nên ta hiểu là AE-EN=AN
+)HE+EN: vì HE=AE và AE= CE nên ta hiểu là AE+EN=NC
Mong bạn hiểu :)
