Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
a. Chứng minh rằng AH2 = AD.AB = AE.AC
b. Chứng minh tam giác ABC và tam giác AED đồng dạng
c. Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của DE và BC, O là giao điểm của DE và AH. Chứng minh rằng AN vuông góc với MO
a) Xét \(\Delta HAB\)và \(\Delta DAH\)có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{ADH}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{BAH}\)chung
\(\Rightarrow\Delta HAB\approx\Delta DAH\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AH}{AD}=\frac{AB}{AH}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng)
\(\Rightarrow AH^2=AB.AD\left(1\right)\)
Xét \(\Delta HAC\)và \(\Delta EAH\)có:
\(\widehat{AHC}=\widehat{AEH}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{CAH}\)chung
\(\Rightarrow\Delta HAC\approx\Delta EAH\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AH}{AE}=\frac{AC}{AH}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng)
\(\Rightarrow AH^2=AE.AC\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)
\(\Rightarrow AH^2=AB.AD=AE.AC\)(điều phải chứng minh)
Vì \(\Delta ABC\)vuông tại A (giả thiết) \(\left(3\right)\)
Xét tứ giác AEHD có:
\(\widehat{HDA}=90^0\left(HD\perp AB\right)\)
\(\widehat{DAE}=90^0\left(\widehat{BAC}=90^0\right)\)(vì \(\Delta ABC\)vuông tại A)
\(\widehat{HEA}=90^0\left(HE\perp AC\right)\)
\(\Rightarrow\)AEHD là hình chữ nhật
Do đó \(\widehat{EDA}=\widehat{AHE}\)
Mà \(\widehat{AHE}=\widehat{ACH}\)(vì \(\Delta HAC\approx\Delta EAH\))
\(\Rightarrow\widehat{EDA}=\widehat{ACH}\)\(\Rightarrow\widehat{EDA}=\widehat{ACB}\)
Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta AED\)có:
\(\widehat{BAC}\)chung
\(\widehat{ACB}=\widehat{EDA}\)(chứng minh trên)
\(\Rightarrow\Delta ABC\approx\Delta AED\left(g.g\right)\)(điều phải chứng minh)
