Question

Cho tam giác ABC vuông ở A, D thuộc cạnh BC. Gọi I,K lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC. Gọi AH là đường cao của tam giác ABC.

a) Chứng minh góc IHK bằng 90 độ

b) Khi D chuyển động trên BC thì trung điểm của IK chuyển động trên đường nào?

c) Xác định vị trí để IK có độ dài ngắn nhất

Answer 1

a) 2 đoạn AD và IK cắt nhau ở O. Nối O với H.

Xét tứ giác AIDK: ^IAK = ^AID = ^AKD = 90⁰ => Tứ giác AIDK là hình chữ nhật

O là tâm của hình chữ nhật AIDK => O là trung điểm AD & IK; OA=OD=OI=OK

Xét \(\Delta\)AHD: ^AHD=90⁰; O là trung điểm AD => OH=OA=OD

=> OH=OI=OK. Trong \(\Delta\)HIK có: O là trung điểm IK; OH=OI=OK

=> \(\Delta\)HIK vuông tại H => ^IHK = 90⁰ (đpcm).

b) Lấy M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Xét \(\Delta\)BAD: O là trung điểm AD; M là trung điểm AB => OM  là đường trung bình \(\Delta\)BAD

=> OM // BD hay OM // BC. Tương tự: ON // BC

=> 3 điểm M;O;N thẳng hàng => O nằm trên đường trung bình MN cố định của \(\Delta\)ABC

Vậy khi D chạy trên BC thì O (Trung điểm IK) luôn chạy trên đường trung bình của \(\Delta\)ABC.

c) Ta có tứ giác AIDK là hình chữ nhật có 2 đường chéo AD là IK => AD=IK

Mà AD > AH (Q/h đường xiên hình chiếu) nên IK > AH

=> Độ dài ngắn nhất của IK là AH. Dấu "=" xảy ra khi điểm D trùng điểm H.