Question

cho tam giác ABC vuông cân tại A.Qua A kẻ đường thẳng d tùy ý . Từ B và C kẻ Bh vuông góc với d và Ck vuông góc với d . Chứng minh rằng tổng BH² +CK² không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d

 

Answer 1

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với d, cắt BC tại D Ta có BH,CK,DA cùng vuông góc d nên các đường thẳng này song song nhau Suy ra được các cặp góc bằng nhau là ACK=DAC, HBA=BAD Tam giác ABC vuông tại A nên góc BAD+DAC=90 độ nên ta có góc HBA+ góc ACK= 90 độ (1) Tam giác AKC vuông tại K nên góc ACK+KAC= 90 độ (2) Từ 1 và 2 ta có góc HBA= góc KAC Xét 2 tam giác vuông HBA và KAC có cạnh huyền AB=AC, góc HBA= góc KAC Nên 2 tam giác này bằng nhau suy ra HB=AK, HA=CK Do đó HB^2+CK^2=HB^2+HA^2=AB^2

Answer 2

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với d, cắt BC tại D 
Ta có BH,CK,DA cùng vuông góc d nên các đường thẳng này song song nhau 
Suy ra được các cặp góc bằng nhau là ACK=DAC, HBA=BAD 
Tam giác ABC vuông tại A nên góc BAD+DAC=90 độ 
nên ta có góc HBA+ góc ACK= 90 độ (1) 
Tam giác AKC vuông tại K nên góc ACK+KAC= 90 độ (2) 
Từ 1 và 2 ta có góc HBA= góc KAC 
Xét 2 tam giác vuông HBA và KAC có cạnh huyền AB=AC, góc HBA= góc KAC 
Nên 2 tam giác này bằng nhau suy ra HB=AK, HA=CK 
Do đó HB^2+CK^2=HB^2+HA^2=AB^2