a) Xét ∆ABC có :
M là trung điểm AB
N là trung điểm BC
=> MN là đường trung bình
=> MN//AC , MN = \(\frac{1}{2}AC\)
Xét ∆ABC có :
N là trung điểm BC
P là trung điểm AC
=> NP là đường trung bình
=> NP//AB , NP = \(\frac{1}{2}AB\)
Xét tứ giác MNPA có :
MN//AP ( MN//AC , P \(\in\)AC )
NP //AM ( NP//AB , M \(\in\)AB )
=> MNPA là hình bình hành
Mà BAC = 90°
=> MNPA là hình chữ nhật
Vì ∆ABC vuông cân tại A
=> AB = AC , ABC = ACB
Mà BM = \(\frac{1}{2}AB\) ( M là trung điểm AB )
PC = \(\frac{1}{2}AC\)( P là trung điểm AC )
=> BM = PC
Xét ∆BMN và ∆NCP có :
BN = NC ( N là trung điểm BC )
ABC = ACB (cmt)
BM = PC (cmt)
=> ∆BMN = ∆NCP (c.g.c)
=> MN = NP
Mà MNPA là hình chữ nhật
=> MNPA là hình vuông
Vì ∆ABC vuông cân tại A
AN là trung tuyến BC
=> AN = BN = NC , AN là trung trực BC
=> ∆ANC cân tại N
Mà AN \(\perp\)BC ( AN là trung trực BC )
=> ∆ANC vuông cân tại A
=> NP là phân giác ANC
Xét tứ giác ANCK có :
P là trung điểm AC (gt)
P là trung điểm NK ( NP = PK )
=> ANCK là hình bình hành
.Mà ANC = 90° ( AN \(\perp\)BC )
=> ANCK là hình chữ nhật
Mà NK là phân giác ANC (cmt)
=> ANCK là hình vuông
c) Vì NP là trung tuyến AC
=> NP = AP = PC
Vì MN//AC
=> HMA = BAC = 90° ( so le trong )
Xét ∆AHN có :
AM là trung trực
=> ∆AHN cân tại A
Mà NCKA là hình vuông
=> NAK = 90°
Nà NAK + NAH = 180° ( kề bù )
=> NAH = 90°
=> ∆AHN vuông cân tại A
Mà AM là trung tuyến
=> AM = HM = MN
Mà MNPA là hình vuông
=> MA = AP = PN = MN
=> HM = MB = AP = PC
Ta có :
HM + MN = HN
AP + PC = AC
=> HN = AC
Xét tứ giá HNPA có :
HN //AC ( MN //AC , M \(\in\)HN )
HN = AC
=> HNPA là hình bình hành