Question

 

cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB ,BC ,AC . Trên tia đối của các tia MN ,PN lần lượt lấy H ,K sao cho MH=MN .PK=PN

a ) cm AMNP ,ANPH ,ANCK là hv

b ) ACNH là hbh 
c )BCPM là hthang cân

Answer 1

a) Xét ∆ABC có : 

M là trung điểm AB 

N là trung điểm BC 

=> MN là đường trung bình 

=> MN//AC , MN = \(\frac{1}{2}AC\) 

Xét ∆ABC có : 

N là trung điểm BC 

P là trung điểm AC 

=> NP là đường trung bình 

=> NP//AB , NP = \(\frac{1}{2}AB\)

Xét tứ giác MNPA có : 

MN//AP ( MN//AC , P \(\in\)AC )

NP //AM ( NP//AB , M \(\in\)AB )

=> MNPA là hình bình hành 

Mà BAC = 90° 

=> MNPA là hình chữ nhật 

Vì ∆ABC vuông cân tại A

=> AB = AC , ABC = ACB 

Mà BM = \(\frac{1}{2}AB\) ( M là trung điểm AB )

PC = \(\frac{1}{2}AC\)( P là trung điểm AC )

=> BM = PC 

Xét ∆BMN và ∆NCP có :

BN = NC ( N là trung điểm BC )

ABC = ACB (cmt)

BM = PC (cmt)

=> ∆BMN = ∆NCP (c.g.c)

=> MN = NP 

Mà MNPA là hình chữ nhật 

=> MNPA là hình vuông 

Answer 2

Vì ∆ABC vuông cân tại A 

AN là trung tuyến BC 

=> AN = BN = NC , AN là trung trực BC

=> ∆ANC cân tại N 

Mà AN \(\perp\)BC ( AN là trung trực BC )

=> ∆ANC vuông cân tại A 

=> NP là phân giác ANC 

Xét tứ giác ANCK có : 

P là trung điểm AC (gt)

P là trung điểm NK ( NP = PK )

=> ANCK là hình bình hành 

.Mà ANC = 90° ( AN \(\perp\)BC )

=> ANCK là hình chữ nhật 

Mà NK là phân giác ANC (cmt)

=> ANCK là hình vuông 

c) Vì NP là trung tuyến AC 

=> NP = AP = PC 

Vì MN//AC 

=> HMA = BAC = 90° ( so le trong )

Xét ∆AHN có : 

AM là trung trực 

=> ∆AHN cân tại A 

Mà NCKA là hình vuông 

=> NAK = 90° 

Nà NAK + NAH = 180° ( kề bù )

=> NAH = 90° 

=> ∆AHN vuông cân tại A 

Mà AM là trung tuyến 

=> AM = HM = MN 

Mà MNPA là hình vuông 

=> MA = AP = PN = MN 

=> HM = MB = AP = PC 

Ta có : 

HM + MN = HN 

AP + PC = AC 

=> HN = AC

Xét tứ giá HNPA có : 

HN //AC ( MN //AC , M \(\in\)HN )

HN = AC 

=> HNPA là hình bình hành