Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M chuyển động trên cạnh BC ( M khác B, C ). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB , AC. Vẽ các đường tròn ( H; HM) và (K; KM).
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (H), (K) luôn cắt nhau
b) Gọi N la giao điểm thứ hai của hai đường tròn (H) và (K) . Chứng minh rằng MN luôn đi qua 1 điểm cố định
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH PHÚ YÊN NĂM 2018-2019
Tự vẽ hình nha,
Câu a, Ta có : tứ giác AHMK là hình chữ nhật nên MK=AH và HM=AK
Mà HM, MK lần lượt là bán kính của (H) và (M)
Xét tam giác HAK có : theo bđt tam giác : HA-HB<HK<HA+HK
Hay MK-MH<HK<MH+MK => hai đường tròn luôn cắt nhau ( giả sử MK>MH)
Ta có \(\widehat{NMH}=\widehat{NCB};\widehat{NMK}=\widehat{NBC}\)
Do AKMH là hình chữ nhật nên
\(\widehat{NMH}+\widehat{NMK}=90\Rightarrow\widehat{NCB}+\widehat{NBC}=90\)
\(\Rightarrow\widehat{BNC}=90\). Vẽ hình vuông ABEC
Ta có A, N, B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC cố định
Ta lại có \(\widehat{NEB}=\widehat{NCB}\)mà \(\widehat{NCB}=\widehat{NMH}\)
\(\widehat{NEB}=\widehat{NMH}\), do \(MH//EB\)nên ba điểm N, M, E thẳng hàng. Vậy MN luôn đi qua điểm E cố định
