Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có BC = a. Một đường thẳng d đi qua A. Từ B và C kẻ BH và CE vuông góc với d (H và E thuộc d). Tính BH2 + CE2 theo a.

Answer 1

 

Đường thẳng d bất kì đi qua A nên d có thể có các vị trí sau:

+) d không cắt cạnh BC.

Trong tam giác vuông AHB có: góc HAB + ABH = 90⁰  (1)

Mà góc HAB + BAC + CAE = 180^o => góc HAB + CAE = 180^o - BAC = 180 - 90 = 90^o    (2)

(1)(2) => góc ABH = CAE 

 tam giác vuông  ABH = CAE ( do cạnh huyền AB = AC; góc ABH = CAE)

=> AH = CE

*) Áp dụng định lí Pi ta go trong tam giác vuông ABH có: BH² + AH² = AB²

mà AH = CE nên BH² + CE² = BH² + AH² = AB² 

Dễ có: AB² + AC² = BC² ; AB = AC => 2.AB² = a² => AB² = a²/ 2

Vậy BH² + CE² = a²/ 2

+) Khi d trùng với AB :

=> H trùng với B; E trùng với A=> BH = 0; CE = CA

 => BH² + CE² = AC² = a²/ 2

+) d trùng với AC (tương tự như d trùng với AB)

+) Khi d cắt cạnh BC: 

*) Ta  cũng chứng minh : tam giác AEC = BHA (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH = AE

*) Trong tam giác vuông AEC có: AE² + CE² = AC²

=>   BH² + CE² = AE² + CE² =  AC² = a²/ 2

Vậy BH² + CE² =   AC² = a²/ 2