Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại A ; BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC ; N thuộc BC sao cho BN = 2CN. Gọi P,Q,R là các điểm tùy ý lần lượt nằm trên các cạnh BC,CA,AB (ko trùng với các đỉnh của tam giác ABC)

a) Tính độ dài cạnh AM theo a

b) CMR: BN = 3NM

c) Tìm GTNN của tổng PR + PQ

Answer 1

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC ta có: (vì AB = AC) Từ đây suy ra . Lại có M là trung điểm của AC nên .

Gọi I là trung điểm của BC, G là giao điểm của AI và BM, suy ra G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra BM = 3GM     (1). Do ABC là tam giác vuông nên AI = IB = IC, do đó tam giác IAC là tam giác cân tại I, suy ra                          (2) Lại có AM = MC (3).     (4)  Từ (2), (3) và (4) suy ra  (c.g.c) Suy ra GM = NM (5). Từ (1) và (5) suy ra BM = 3NM (đpcm).