Question

Cho tam giác ABC với trung tuyến AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB; qua B kẻ đường thẳng song song với AD. Hai đường thẳng trên cắt nhau tại E. Gọi K là trung điểm của đoạn EC. Chứng minh rằng: Ba điểm A, D, K thẳng hàng. 

Answer 1

Ta có AD//BE (gt) (1)

Mặt khác

Trên tia đối của tia KD lấy điểm I sao cho KI = KD

Xét tam giác KIE và tam giác KDC có

KI = KD (gt)

KE = KC (gt)

góc (IKE) = góc(DKC) (đối đỉnh)

=> tam giác KIE = tam giác KDC (c-g-c) (*)

=> góc (KIE) = góc (KDC) (2 góc tương ứng)

=> CD//IE hay BC//IE 

=> góc (BDC) = góc (IED) (2 góc sole trong) (2) 

và IE = CD (2 cạnh tương ứng) (3)

mà DC = DB (4)

Từ (3) và (4) suy ra IE = BD (5)

DE (cạnh chung) (6)

Từ (2), (5) và (6)

=> tam giác BED = tam giác IED (c-g-c)

=> góc IDE = góc BED (2 góc tương ứng)

=> ID//BD hay DK//BE (7)

Từ (1) và (7) suy ra A, D, K thẳng hàng