Question

Cho tam giác ABC với cá đường cao không nhỏ hơn 1 CM:

\(S_{ABC}\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Answer 1

Gọi AD = h_a , BE = h_b , CF = h_c lần lượt là các đường cao của tam giác ABC

Ta có : \(h_b\le1,h_c\le1\)

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(\widehat{C}\le\widehat{B}\le\widehat{A}\). Ta xét hai trường hợp :

Với tam giác ABC có ba góc nhọn, khi đó \(\widehat{C}\le60^o,\widehat{A}\ge60^o\)

Ta có : \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}c.h_c=\frac{1}{2}.\frac{h_b.h_c}{sinA}\le\frac{1}{2sin60^o}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Với tam giác ABC không phải là tam giác có ba góc nhọn , khi đó \(\widehat{A}\ge90^o\)

 ta có : \(S_{\Delta ABC}\le\frac{1}{2}h_c.c=\frac{h_bh_c}{2sinA}\le\frac{1}{2sin90^o}=\frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)