Câu hỏi của Nguyễn Khôi Nguyên

Question

Cho tam giác ABC trung tuyến AM,phân giác AD.Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với AD tại H,đường thẳng này cắt tia AC tại F,cắt AB tại E,chứng minh rằng :

a) Tam giác AEF cân.

b) Vẽ đg thẳng BK//EF,cắt AC tại K.Chứng minh rằng :KF=CF.

c) AE=AB+AC:2

Yen Nhi · Accepted Answer

a) Ta có: $AH$ là phân giác $\widehat{EAF},AH\perp EF\rightarrow\Delta AEF$cân tại $A$b) Kẻ $BG//AC,G\in EF\rightarrow\widehat{BGK}=\widehat{GKF}$Ta có: $BK//EF\rightarrow\widehat{BKG}=\widehat{KGF}$Mà $\Delta BKG,\Delta FGK$chung cạnh $KG$$\rightarrow\Delta BKG=\Delta FGK\left(g.c.g\right)$$\rightarrow BG=KF$Ta có: $BG//AC\rightarrow\widehat{GBM}=\widehat{MCF}$Mà $BM=MC$vì $M$là trung điểm $BC,\widehat{BMG}=\widehat{FMC}$$\rightarrow\Delta BMG=\Delta CMF\left(c.g.c\right)$$\rightarrow BG=CF$$\rightarrow KF=CF\left(=BG\right)$c) Ta có: $BG//AC$$\rightarrow\widehat{BGE}=\widehat{AFE}=\widehat{AEF}=\widehat{BEG}$$\rightarrow\Delta BGE$cân tại $B\rightarrow BE=BG$$\rightarrow BE=CF$Mà $AE=À,AE=AB+BE,AF=AC-C$$\rightarrow AE+AF=AB+BE+AC-CF$$\rightarrow2AE=AB+AC$vì $BE=CF$$\rightarrow AE=\frac{AB+AC}{2}$Câu trả lời: a) Ta có: $AH$ là phân giác $\widehat{EAF},AH\perp EF\rightarrow\Delta AEF$cân tại $A$b) Kẻ $BG//AC,G\in EF\rightarrow\widehat{BGK}=\widehat{GKF}$Ta có: $BK//EF\rightarrow\widehat{BKG}=\widehat{KGF}$Mà $\Delta BKG,\Delta FGK$chung cạnh $KG$$\rightarrow\Delta BKG=\Delta FGK\left(g.c.g\right)$$\rightarrow BG=KF$Ta có: $BG//AC\rightarrow\widehat{GBM}=\widehat{MCF}$Mà $BM=MC$vì $M$là trung điểm $BC,\widehat{BMG}=\widehat{FMC}$$\rightarrow\Delta BMG=\Delta CMF\left(c.g.c\right)$$\rightarrow BG=CF$$\rightarrow KF=CF\left(=BG\right)$c) Ta có: $BG//AC$$\rightarrow\widehat{BGE}=\widehat{AFE}=\widehat{AEF}=\widehat{BEG}$$\rightarrow\Delta BGE$cân tại $B\rightarrow BE=BG$$\rightarrow BE=CF$Mà $AE=À,AE=AB+BE,AF=AC-C$$\rightarrow AE+AF=AB+BE+AC-CF$$\rightarrow2AE=AB+AC$vì $BE=CF$$\rightarrow AE=\frac{AB+AC}{2}$