Question

Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1/4 AB . Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 1/3 AC . BN cắt CM tại O . Kéo dài AO cắt BC tại D . Tính tỉ số DB/DC 

Answer 1

Xét tam giác OBM và tam giác OAB có: chung chiều cao hạ từ đỉnh O xuống AB; đáy BM = \(\frac{3}{4}\) đáy AB

=> S_OBM  = \(\frac{3}{4}\)S_OAB    (1)

Xét tam giác OAN và tam giác ONC có : chung chiều cao xuất phát từ O xuống cạnh AC; đáy AN = \(\frac{1}{2}\)đáy NC

=> S_OAN = \(\frac{1}{2}\)S_ONC 

Mặt khác, xét tam giác OAN và tam giác ONC có chung đáy ON 

=> h = \(\frac{1}{2}\) x k

+) Xét tam giác OAB và OBC có: chung đáy đáy OB; chiều cao h = \(\frac{1}{2}\) chiều cao k

=> S_OAB = \(\frac{1}{2}\)S_OBC   (2) 

Từ (1)(2) => S_OBM = \(\frac{3}{4}\) x \(\frac{1}{2}\) S_OBM = \(\frac{3}{8}\)S_OBC

=> S_OBM = \(\frac{3}{11}\)S_MBC = \(\frac{3}{11}\)x \(\frac{3}{4}\)SABC = \(\frac{9}{44}\) S_ABC

Mà S_AOB = \(\frac{4}{3}\)S_OBM = \(\frac{4}{3}\)x \(\frac{9}{44}\) = \(\frac{3}{11}\)x S_ABC  

Tương tự; có S_AOC = \(\frac{2}{11}\)S_ABC

=> S_AOB : S_OAC = \(\frac{3}{11}\): \(\frac{2}{11}\) = \(\frac{3}{2}\)

Mà 2 tam giác này chung đáy OA => chiều cao hạ từ B cuống AO : chiều cao hạ từ C xuống OA = 3: 2

=> S_OBD : S_ODC  = 3: 2 (Vì chung đáy OD)

=> BD : DC= 3: 2 (do tam giác OBD và ODCchung chiều cao hạ từ O xuống BC)

 

Answer 2

\(\frac{BD}{DC}=\frac{3}{2}\)

Answer 3

Có cách ngắn gọn hơn như sau:

S_OAN / A_OCN = 1/2 (chung đường cao hạ từ O) 

=> h/k = 1/2 (Vì S_OAN = 1/2 S_ONC và chung đáy ON)

=> S_OAB / S_OBC = 1/2 (vì chung đáy OB và đường cao h/k = 1/2)

=> S_OAB  = 1/2 S_OBC                                (1)

Tương tự: S_OAC  = 1/3 S_OBC                    (2)

(1) và (2) => S_OAB / S_OAC = 1/2 : 1/3 = 3/2

=> Đường cao hạ từ B xuống AD / Đường cao hạ từ C xuống AD = 3/2 (vì hai tam giác OAB và OAC chung đáy OA)

=> SOBD / SODC = 3/2 (vì chung đáy OD và hai đường cao tương ứng tỉ lệ với 3 và 2)

=> BD / DC = 3/2 (vì hai tam giac OBD và OCD chung đường cao hạ từ O)

Answer 4

BD/DC=3/2