Question

cho tam giác abc qua a kẻ đường thẳng m song song với bc, qua b kẻ đường thẳng n song song với ac, qua c kẻ đường thẳng p song song với ab. Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm m và n,n và p,p và m.

Chứng minh ba đường thẳng AE, BF, CD đồng quy

Answer 1

AD//BC; BD//AC nên ADBC là hình bình hành.

AF//BC; AB//FC nên AFCB là hình bình hành.

AC//BE; AB//CE nên ACEB là hình bình hành.

-Gọi G là giao của CD và BF.

-Ta có: ADBC là hình bình hành (cmt)

\(\Rightarrow\)CD đi qua trung điểm AB.

-Ta có: AFCB là hình bình hành (cmt)

\(\Rightarrow\)BF đi qua trung điểm AC.

-Xét △ABC có:

CD là trung tuyến (CD đi qua trung điểm AB)

BF là trung tuyến (BF đi qua trung điểm AC)

G là giao của CD và BF (gt)

\(\Rightarrow\) G là trọng tâm của △ABC.

\(\Rightarrow\)AG đi qua trung điểm BC (1)

-Ta có: ACEB là hình bình hành (cmt)

\(\Rightarrow\) AE đi qua trung điểm BC (2)

-Từ (1) và (2) suy ra: A,G,E thẳng hàng hay ba đường thẳng AE,BF,CD đồng quy tại G.