Question

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Một đường tròn đi qua A và C cắt AB,BC lần lượt tại D,E. Tiếp tuyến tại A,C của (O) cắt đường thẳng DE lần lượt tại M,N. Gọi CD,AE cắt (O) tại P,Q. Chứng minh rằng MP,NQ gặp nhau trên (O) ? 

Answer 1

Gọi NQ cắt đường tròn (O) tại R khác Q. Ta sẽ chỉ ra 3 điểm M,P,R thẳng hàng.

Thật vậy: Ta có tứ giác ADEC nội tiếp => ^CEN = ^DAC = ^BAC = ^ECN => \(\Delta\)NEC cân tại N

Theo hệ thức lượng đường tròn: NC² = NQ.NR => NE² = NQ.NR => \(\Delta\)NQE ~ \(\Delta\)NER (c.g.c)

Suy ra ^REM = ^ERN + ^ENR = ^ENR + ^QEN = ^RQE = ^RCA = ^RAM. Từ đây, tứ giác MREA nội tiếp

=> ^ARM = ^AEM = ^AED = ^ACD = ^ACP = ^ARP. Do đó tia RP trùng tia RM hay M,P,R thẳng hàng.

Điều đó có nghĩa là MP,NQ cắt nhau tại R. Mà R nằm trên (O) nên ta thu được ĐPCM.