Question

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), gọi (I,r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC, H là tiếp điểm của AB với (I), D là giao điểm của AI với (O), DK là đường kính của (O). gọi d là độ dài của OI. CMR:

a) tam giác AHI đồng dạng với tam giácKCD

b) DI=DB=DC

c) \(IA.ID=R^2-d^2\)

d) \(d^2=R^2-2Rr\)

Answer 1

a) Ta thấy \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\Rightarrow\widebat{BD}=\widebat{DC}\)

\(\Rightarrow\widehat{HAI}=\widehat{CKD}\)   (Hai góc nội tiếp chắn hai cùng bằng nhau)

Do DK là đường kính nên \(\widehat{KCD}=90^o\)

Suy ra \(\Delta AHI\sim\Delta KCD\left(g-g\right)\)

b) Ta thấy \(\widehat{BID}=\widehat{ABI}+\widehat{BAD}\)  (Tính chất góc ngoài)

Mà \(\widehat{ABI}=\widehat{IBC};\widehat{BAD}=\widehat{DBC}\) nên \(\widehat{BID}=\widehat{IBC}+\widehat{CBD}=\widehat{IBD}\)

Suy ra DB = DI

Lại có \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\Rightarrow BD=DC\)

Nên DI = DB = DC

c) Kéo dài OI, cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F. 

Ta có ngay \(\Delta EAI\sim\Delta DFI\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{IA}{IF}=\frac{IE}{ID}\Rightarrow IA.ID=IE.IF\)

\(=\left(OE-OI\right)\left(OI+OF\right)=R^2-d^2\)

d) Ta có : \(\Delta AHI\sim\Delta KCD\left(cma\right)\Rightarrow\frac{IA}{KD}=\frac{HI}{CD}\Rightarrow IA.CD=KD.HI\)

\(\Rightarrow IA.ID=2OD.HI=2Rr\)

Từ câu c suy ra \(2Rr=R^2-d^2\Leftrightarrow d^2=R^2-2Rr\)