Bạn tự vẽ hình nha
Kẻ đường kính AM của (O) \(\Rightarrow D\in BC\)
\(\widehat{ACM}=90^o;\widehat{ABM}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có: \(\Delta ABH~\Delta AMC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{HB}{CM}=\frac{AB}{AM}\Rightarrow HB.AM=AB.CM\)
\(\Delta HCA~\Delta BMA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{HC}{BM}=\frac{AC}{AM}\Rightarrow HC.AM=AC.BM\)
Chia vế theo vế, ta được: \(\frac{HB}{HC}=\frac{AB.MC}{AC.MB}\left(1\right)\)
Lại có: \(\Delta ADB~\Delta CDM\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{DB}{DM}=\frac{AB}{CM}\Rightarrow DB.CM=DM.AB\)
\(\Delta DAC~\Delta DBM\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{DC}{DM}=\frac{AC}{BM}\Rightarrow DC.BM=AC.DM\)
Chia vế theo vế, ta được: \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB.MB}{AC.MC}\left(2\right)\)
Cộng vế theo vế (1), (2) ta được: \(\frac{HB}{HC}+\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\left(\frac{MC}{MB}+\frac{MB}{MC}\right)\ge\frac{AB}{AC}.2\sqrt{\frac{MC}{MB}.\frac{MB}{MC}}=\frac{2.AB}{AC}\)
Mà \(\frac{AB}{AC}=\frac{sinC}{sinB}\Rightarrow\frac{HB}{HC}+\frac{MB}{MC}\ge\frac{2.sinC}{sinB}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(MB=MC\Leftrightarrow AB=AC\Leftrightarrow\Delta ABC\)cân tại A
