Question

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Trên đoạn OD lấy điểm P bất kì. Qua P dựng các đường thẳng song song với AB,AC cắt DB,DC lần lượt tại M,N; cắt AC,AB lần lượt tại E,F. Đường tròn (DMN) cắt (O) tại R khác D. Chứng minh RP chia đôi EF ?

Answer 1

Bốn điểm A,B,D,C cùng nằm trên (O) theo thứ tự đó => ^BAC + ^BDC = 180⁰

Vì PM // AB, PN // AC nên ^MPN = ^BAC. Do đó ^MPN + ^BDC = 180⁰ => Tứ giác PMDN nội tiếp

Lúc này, điểm R nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMDN

=> ^DRP = ^DNP = ^DCA (Bởi PN // AC) = ^DRA. Ta thấy A,P nằm cùng phía so với DR nên RP trùng RA

Hay A,P,R thẳng hàng. Dễ thấy tứ giác AEPF là hình bình hành, suy ra AP chia đôi EF

Vậy nên RP cũng chia đôi EF (đpcm).