Question

Cho tam giac ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. D là môt điểm thuộc cung nhỏ BC. Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC, CA.

a) CM: I, H, K thẳng hàng

b) CM : \(\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}=\frac{BC}{DH}\)

c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, HK. CM \(PQ\perp DQ\)

Answer 1

a) Ta có tứ giác DIKC nội tiếp nên \(\widehat{DKI}=\widehat{ICD}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung ID)

Lại có tứ giác ABDC nội tiếp nên \(\widehat{ICD}=\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=\widehat{HAD}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)

Tứ giác AHDK cũng nội tiếp nên \(\widehat{HAD}=\widehat{DKH}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) 

Vậy nên \(\widehat{DKI}=\widehat{DKH}\) hay H, K, I thẳng hàng.

Answer 2

Cảm ơn cô nhưng em cần câu b và câu c

Answer 3

Giả sử \(AC\ge AB\)

tứ giác \(ABDC\)nội tiếp đường tròn

=>\(\widehat{IBD}=\widehat{KCD}\left(=180-\widehat{ACD}\right)\)

Do đó \(\Delta IBD\)đồng dạng \(\Delta KCD\)(góc nhọn)

=>\(\frac{BI}{ID}=\frac{CK}{DK}\)

TA CÓ \(\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}=\frac{AI}{DI}+\frac{BI}{DI}+\frac{AK}{DK}-\frac{CK}{DK}=\frac{AI}{DI}+\frac{AK}{DK}\)

TA CÓ \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\left(=\frac{1}{2}\widebat{BD}\right)\)\(\widehat{\Rightarrow\cot BAD}=\widehat{\cot BCD}\Leftrightarrow\frac{AI}{DI}=\frac{CH}{DH}\)(1)

TƯƠNG TỰ \(\widehat{CBD}=\widehat{CAD}\left(=\frac{1}{2}\widebat{MC}\right)\Rightarrow\frac{AK}{DK}=\frac{BH}{DH}\)(2)

TỪ (1) VÀ (2)=>\(\frac{AI}{DI}+\frac{AK}{DK}=\frac{CH}{DH}+\frac{BH}{DH}=\frac{BC}{DH}\)

=>\(\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}=\frac{BC}{DH}\)

Answer 4

a) Dễ thấy các tứ giác: BIDH,BKDH nội tiếp => ^DHI = ^DBI = ^ACD = 180⁰ - ^DHK => 3 điểm H,I,K thẳng hàng (đpcm).

b) Gọi độ dài đường cao hạ từ đỉnh D của \(\Delta\)DIK là h. Ta có các cặp tam giác đồng dạng sau (theo TH g.g)

\(\Delta\)DIK ~ \(\Delta\)DBC => \(\frac{IK}{h}=\frac{BC}{DH}\)  (1)

\(\Delta\)ACD ~ \(\Delta\)IHD => \(\frac{IH}{h}=\frac{AC}{DK}\)  (2)

\(\Delta\)DBA ~ \(\Delta\)DHK => \(\frac{HK}{h}=\frac{AB}{DI}\) (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: \(\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}=\frac{IH+HK}{h}=\frac{IK}{h}=\frac{BC}{DH}\)(đpcm).

c) Ta có: \(\Delta\)DBA ~ \(\Delta\)DHK (cmt), hai tam giác này có đường trung tuyến tương ứng DP và DQ

Nên \(\Delta\)DPA ~ \(\Delta\)DQK (c.g.c) => ^DPA = ^DQK => ^DPI = ^DQI (Kề bù)

=> Tứ giác DIPQ nôi tiếp => ^DQP + ^DIP = 180⁰. Mà ^DIP = 90⁰ nên ^DQP = 90⁰ 

=> PQ vuông góc DQ (đpcm).