Question

cho tam giác ABC nhọn ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc vs BC, AB, AC lần lượt tại D, E , F . gọi H là hình chiếu của D trên EF. chứng minh rằng: HD là đường phân giác của BHC

Answer 1

Gọi hình chiếu của B và C trên đường thẳng EF lần lượt là G và K

Ta có: AE và AF là 2 tiếp tuyến của (I) => AE=AF => \(\Delta\)EAF cân đỉnh A

=> ^AEF=^AFE => ^GEB=^KFC (2 góc đối đỉnh)

=> \(\Delta\)BGE ~ \(\Delta\)CKF (g.g) => \(\frac{BE}{CF}=\frac{GE}{KF}\)

Mà \(\frac{BE}{CF}=\frac{BD}{CD}\)(Vì BE=BD và CF=CD theo t/c tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{GE}{KF}\). Lại có: Tứ giác BGKC là hình thang có DH//BG//CK

\(\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{GH}{KH}=\frac{GE}{KF}=\frac{GH-GE}{KH-KF}=\frac{EH}{FH}\)(T/c dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\frac{BE}{CF}=\frac{EH}{FH}\)

Xét \(\Delta\)BEH và \(\Delta\)CFH: ^BEH=^CFH (Bù 2 góc ^AEF và ^AFE bằng nhau); \(\frac{BE}{CF}=\frac{EH}{FH}\)

=> \(\Delta\)BEH ~ \(\Delta\)CFH (c.g.c) => ^BHE=^CHF => 90⁰ - ^BHE = 90⁰ - ^CHF

=> ^BHD=^CHD => HD là phân giác ^BHC (đpcm).

Answer 2

cảm ơn bạn nha,chắc cũng là trùm toán chứ nhỉ